Разработка методов математического моделирования на основе нормализованных радиально-базисных сетей

• Автор: Колбин, Илья Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 с. : ил.

Оглавление
Введение.

Глава 1. Нейросетевые алгоритмы моделирования стационарных процессов переноса.

1.1. Постановка задачи. Нейросетевой метод решения. Радиальнобазисные и нормализованные радиальнобазисные сети.
1.2. Методы подбора параметров нейросетевой модели. Функционал ошибки. Подбор параметров с использованием методов многомерной оптимизации.
1.3. Применение нейросетевого метода на примере решения краевой задачи для уравнения Пуассона на плоскости

1.4. Сравнение нейросетевых методов, основанных на РБС и на НРБС

1.5. Сравнение нейросетевого и конечноразностного методов.

1.6. Построение программного комплекса.

1.7. Выводы

Глава 2. Нейросетевые алгоритмы моделирования нестационарных процессов переноса.

2.1. Постановка задачи. Нейросетевой метод решения.
2.2. Гибридный метод решения нестационарных задач с конечноразностным разбиением по времени
2.3. Сравнение прямого и гибридного нейросетевых методов.
2.4. Решение начальнокраевой задачи для уравнения Бюргсрса
2.5. Выводы
Глава 3. Нейросетевые алгоритмы решения обратных задач задач идентификации.
3.1. Постановка задачи и нейросетевой метод идентификации
3.2. Идентификация правой части
3.3. Идентификация граничного режима.
3.4. Выводы
Заключение
Список использованной литературы


Для этого из начальных и краевых условий, и из самих уравнений формируются локальные функционалы, которые далее суммируются с некоторыми весами, образуя общий функционал. Важно отметить, что в такой постановке подход без каких-либо значительных изменений может быть эффективно применен для широкого круга задач. В частности, в работе [] рассматривается решение для слабо сингулярных уравнений Вольтерра. В работах [,8] рассматривается приложение радиально-базисных сетей на основе мультиквадриков для приближенного решения уравнений с дробными производными. Приводится сравнение с другими методами, показано, что предложенный метод обладает хорошей точностью. Существенное влияние на развитие нейросетевой технологии оказали работы В. И. Горбаченко. В монографии [] подробно исследованы приложение нейрокомпьютеров для решения краевых задач теории поля. Представляют значительный интерес публикации [1,] в которых рассматривается решение задач математической физики с использованием радиально-базисных сетей. В [,] исследовано решение коэффициентных обратных задач, отмечается хорошая точность полученной нейросетевой аппроксимации. Особенно стоит выделить работы А. Н. Васильева и Д. А. Тархова, ключевые идеи которых легли в основу настоящей диссертационной работы. Предложенная в работах методология достаточно универсальна и может без значительных модификаций быть адаптирована для решения широкого класса задач. В работах [6,7] приводятся решения задач с нелинейными составляющими. Разработанный подход без особенных сложностей распространяется на решение задач в составных областях. В публикациях [9,,] рассматриваются задачи с фиксированными границами раздела сред. Делается замечание, что при поиске решения для задач с областями составного типа можно применять единую нейронную сеть для всей области, либо искать решение в виде набора сетей и рассматривать нейронную сеть для каждой из подобластей. При использовании первого подхода будет получено бесконечно гладкое решение (при соответствующем выборе базиса), но при наличии разрывов на границах точность решения может значительно снизиться. Второй подход лишен указанного недостатка, но его применение влечет за собой усложнение вычислительного алгоритма, т. В работах [,,,9] дается решение задач со свободной границей с применением нейросетевого подхода. В публикации [] исследованы нейросетевые подходы для решения задачи Стефана. Выделяется работа [], в которой рассматривается приложение нейросетевого подхода для построения математической модели образцовой проверочной камеры - калибратора переменного давления. В публикации отмечаются преимущества нейросетевого подхода перед классическими методами [3]: помехоустойчивость алгоритма позволяет применять его при наличии погрешностей во входных данных, при решении серии однотипных задач нет необходимости полностью перестраивать всю сеть, достаточно выбрать уже обученную и доучить ее до требуемой точности. Важной особенностью предложенного авторами нейросетевого подхода является эффективная адаптация для решения задач по разнородным данным. В публикациях [4,-] предлагается единая методология для построения подобных моделей с использованием нейросетевой технологии. Из анализа доступной литературы можно сделать вывод, что при использовании нейросетевых методов для поиска решения краевых задач для уравнений в частных производных доминируют подходы, основанные на радиально-базисных сетях (РБС). В настоящей работе предлагается в качестве нейросетевых моделей использовать нормализованные радиально-базисные сети (НРБС). Впервые НРБС были описаны в [0] практически в одно время с РБС [], однако интерес к приложениям появился позже. В публикациях [,] отмечаются хорошие обобщающие свойства данных сетей, в [,,,5] указывается, что эффективность НРБС в значительно меньшей степени зависит от неудачного выбора центров в сравнении с ненормализованными сетями. С другой стороны, нейроэлементы РБС с гауссовой функцией активации обладают только локальными свойствами. Стоит отметить работы [,] в которых рассматривается применение НРБС в робототехнике.