Теория минимальных сплайн-всплесков и ее приложения

• Автор: Макаров, Антон Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18, 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 349 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Пространства минимальных сплайнов

1.1 Предварительные обозначения и вспомогательные утверждения

1.2 Пространства минимальных сплайнов лагранжева типа.

1.3 Пространства минимальных сплайнов максимальной гладкости

1.4 О представлении элементарных симметрических многочленов .

1.5 О представлении сплайнов произвольного порядка

1.6 Сплайны порядка т 0,1,2,3.

1.7 Конечномерные пространства сплайнов.

2 Калибровочные соотношения и вложенность пространств сплайнов

2.1 Калибровочные соотношения и матрицы реконструкции для
сплайнов произвольного порядка
2.2 Матрицы реконструкции в частных случаях.
2.2.1 Сплайны нулевого порядка.
2.2.2 Сплайны первого порядка.
2.2.3 Сплайны второго порядка.
2.2.4 Сплайны третьего порядка
3 Биортогональные системы функционалов
3.1 Виортогональная система функционалов и матрицы декомпозиции для сплайнов произвольного порядка
3.2 Матрицы декомпозиции в частных случаях.
3.2.1 Сплайны нулевого порядка
3.2.2 Сплайны первого порядка.
3.2.3 Сплайны второго порядка.
3.2.4 Сплайны третьего порядка.
4 Всплесковые разложения пространств сплайнов
4.1 Всплесковос сжатие пространств сплайнов.
4.2 Всплесковос уточнение пространств сплайнов
4.3 О вариантах телескопических систем и их всплесковых разложениях .
4.4 Алгоритмы декомпозиции и реконструкции в частных случаях .
4.4.1 Сплайны нулевого порядка.
4.4.2 Сплайны первого порядка.
4.4.3 Сплайны второго порядка.
4.4.4 Сплайны третьего порядка.
5 Аппроксимация минимальными сплайнами
5.1 Представление остатка приближения и реализация точности аппроксимации.
52 О другом представлении остатка приближения
5.3 Численные эксперименты по аппроксимации.
5.4 О порядке малости всплесковой составляющей
5.5 Сплайнвсплссковая модель аппроксимации.
6 Всплесковые разложения пространства потоков
6.1 Всплссковое разложение пространства исходных потоков . . . .
6.2 О количестве арифметических операций
6.3 Устойчивость вычислений при декомпозиции и реконструкции .
6.4 О распараллеливании всплесковых разложений
6.5 Моделирование потоков данных. Сжатие, восстановление и реконструкция
6.6 Сравнение аппроксимации и сжатия числовых потоков.
6.7 Сжатие, восстановление и реконструкция изображений
7 Программный комплекс
7.1 О среде разработки
72 Компоненты комплекса
7.3 Ключевые моменты реализации .
Заключение
Приложение 1. Некоторые детерминаитные тождества
Приложение 2. Примеры полиномиальных и неполиномиальных сплайнов
Список литературы


Известно [1], что такой базис всегда может быть заменён на ортонормированный. Рисса. При разложении функции по неортогональному базису всплесков для вычисления коэффициентов разложения требуется найти двойственный (дуальный) базис, который биортогонален исходному. Такие всплески называются биортогональными. Первый пример би ортогональных всплесков построен Ф. Чамичаном (4]. В работах А. Коэна, И. Добеши, Ж. Фово (4, 5] пара биортогональных систем всплесков порождается парой КМА. Ряд аналогичных примеров получен в работе іМ. Веттерли, С. Херли [7], в которой рассматривается подход с точки зрения набора фильтров. Заметим, что в отличие от ортогональных всплесков с компактным носителем (за исключением всплеска Хаара. Ортонормированные всплески являются частным случаем биортогональных всплесков, т. Еще одним частным случаем биортогональных всплесков являются полу-ортогоналъиые всплески, при построении которых систему вложенных пространств разлагают в ортогональную сумму () и строят нсортогональный базис всплесков. При этом подходе, рассмотренным П. Ошером (5] и Ч. Чуй, Дж. Вонгом |0, 1|, двойственные системы всплесков порождаются одним КМА. Так, например, при построении КМА на основе полиномиальных В-сплайнов сдвиги масштабирующих функций не образуют ортонормированный базис в пространстве Vq. После ортогонализации полиномиальных В-сплайнов получаются ортогональные всплески Баттла-Лемарье с некомпактным носителем. Однако, если систему вложенных пространств разложить в ортогональную сумму и построить неортогональный базис всплесков, то получатся В-силайн-всилсски с компактным носителем. Обобщением базиса Рисса является понятие фрейма, введённое в году Р. Дж. Даффином и А. С. Шеффером |8|. Фрейм (frame) или каркас — это любая система векторов (избыточная система векторов, т. Особый интерес представляют э/сёсткие (tight) фреймы (7) — фреймы, границы которых совпадают. Жёсткие фреймы с единичными границами называют ортоподоб-пыми системами. Системы всплесков, являющиеся системами фреймов, называют фреймами всплесков или фреймлетажи (framelets) [9]. Практический интерес вызывают также фреймоподобные системы всплесков [6, 9, 2, 3). Упомянем также работы [, , 2, 1, 7, 4]. Вообще говоря, в масштабирующем уравнении () вместо параметра масштабирования 2 можно использовать любое целое и даже рациональное число (подробнее см. При этом одной масштабирующей функции будут соответствовать несколько всплесков. Такие всплески возникают при анализе временных рядов. Большой интерес масштабирующие уравнения представляют для задач автоматизированного геометрического проектирования (CAGD), связанных с построением уточняющих схем (subdivision scheme). Таким образом, в случае, когда (а, (3) = М1, а сетка — равномерная, удаётся применить мощный аппарат гармонического анализа (в пространстве функций L2(Rl) и пространстве последовательностей Г2; здесь используются различные варианты преобразований Фурье (дискретного и непрерывного). В году Д. J1. Донохо [5], не используя преобразование Фурье в качестве инструмента построения всплесков, построил всплески, являющиеся частным случаем лифтинговой схемы, предложенной в году В. Свсл-денсом [. Лифттпговая схема (lifting scheme) или схема улучшения — это способ построения новых базисов всплесков, не основывающийся на преобразовании Фурье, который применяется для улучшения свойств всплесков. При помощи управляющей функции и всплсскового потока лифтинговая схема изменяет («поднимает») основной поток (низкочастотную составляющую сигнала), причём все вычисления проводятся «на месте» (т. Отметим, что наиболее существенным ограничением лифтинговой схемы является невозможность выбора произвольного масштаба, на котором выполнялась бы декомпозиция сигнала. Ввиду того, что лифтинговая схема не основывается на преобразовании Фурье, имеется возможность строить базисы всплесков по неинвариантным относительно сдвига областям и использовать неравномерные сетки , 3, 4, 2, 3|. Однако, в этом случае, ускользает возможность эффективно отслеживать порядок аппроксимации. В году Ю.