Матричная коррекция данных для несовместных систем линейных уравнений и ее применение в задачах оптимизации и классификации

• Автор: Муравьева, Ольга Викторовна
• Шифр специальности: 05.13.17
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Коррекция системы линейных уравнений

1.1. Существование и единственность минимальной матрицы.

1.2. Радиусы совместности и несовместности системы линейных уравнений.

1.3. Матрицы коррекции специального вида

Глава 2. Решение двукритериальной задачи коррекции несобственной

задачи линейного программирования

2.1. Коррекция несобственной задачи ЛП без условия неотрицательности плана.

2.2. Коррекция несобственной задачи Л в канонической форме

2.3. Коррекция несобственной задачи ЛП в стандартной форме

Глава 3. Использование коррекции системы линейных уравнений для
решения некоторых задач аппроксимации
3.1. Задача аппроксимации линейной функцией с коррекцией
всех данных.
3.2. Аппроксимация в задаче век горной оптимизации
3.3. Методы коррекции в геометрических задачах
Заключение.
Литература


Включение матрицы ограничений в корректируемые параметры существенно расширяет возможности рассматриваемой модели. Необходимость модифицировать именно матрицу ограничений может определяться содержательным смыслом задачи и имеет наглядную интерпретацию в различный прикладных задачах линейного программирования. В настоящей работе рассматривается матричная коррекция несобственной задачи ЛП, включая случай изменения расширенной матрицы ограничений. Исследуется минимальная матричная коррекция системы ограничений-равенств, что позволяет сформулировать метод аппроксимации несобственной задачи ЛП. Другой, важной в теоретическом и прикладном отношении, и близкой к аппроксимации несовместной системы линейных уравнений является задача такой коррекции коэффициентов невырожденной квадратной матрицы, чтобы определитель возмущенной матрицы был нулевым. Такие задачи коррекции, возможно с некоторыми дополнительными ограничениями, возникают не только при рассмотрении проблемы линейной оптимизации. Классической является задача аппроксимации функции, заданной на конечном наборе исходных данных, на непрерывную область определения. Такого рода экстремальная задача имеет широкую сферу приложений. Одним из возможных критериев "близости“, более сложным в вычислительном отношении, чем метод наименьших квадратов, является сумма квадратов расстояний от заданных точек до аппроксимирующей кривой. Такой подход позволяет парировать все исходные данные. Задача линейной аппроксимации с предложенным критерием может быть полностью решена методами коррекции несовместных линейных систем. Рассмотренный подход может оказаться полезен и в нелинейном случае. В теории исследования операций одним из источников неопределенности является неопределенность в понимании цели операции []. Для практических применения характерно наличие целого ряда показателей эффективности, желательность минимизации или максимизации которых не вызывает сомнения, но нет четких представлений о виде общего критерия. Для выработки такого критерия требуется проводить предварительное исследование. Одним из методов приведения задачи векторной оптимизации является экономический способ свертки или суммирование с весовыми коэффициентами. Вместе с логическими способами свертки линейная свертка образует в некотором смысле полную систему; выбирая различные коэффициенты, лицо, принимающее решение, может добиться приемлемого результата []. Если информация, на основании которой осуществляется выбор параметров свертки, представлена в форме количественных оценок итогового критерия на некотором наборе стратегий, то задача определения весов представляет собой систему линейных уравнений. В последнем случае могут быть с (формулированы и выполнены эффективные процедуры аппроксимации. Решение задачи оптимизации является, как правило, очень трудоемким и требует применения различных вычислительных методов. Одной из особенностей компьютерного моделирования является конечная точность представления данных. В отличие от классической математики необходимо учитывать возможную погрешность и степень ее увеличения при проведении различных вычислений. Предлагается рассмотреть особенности решения стандартных задач аналитической геометрии в условиях малых возмущений параметров. На примере кривых первого и второго порядка можно показать, что незначительные изменения в параметрах уравнений могут приводить к качественному изменению результатов. Некоторые геометрические свойства являются неустойчивыми и могут нарушаться при сколь угодно малых изменениях определенных параметров, для других свойств можно получить оценки для радиуса устойчивости. Вопрос чувствительности свойств моделируемых объектов к изменениям контролируемых или неопределенных факторов является одним из активно развивающихся направлений в исследовании операций. Обозначенные выше проблемы объединяет возможность применения для их решения теории коррекции несовместных линейных систем. Данная работа посвящена указанным проблемам и этим определяется ее актуальность. Цели работы.