Колмогоровская ε-энтропия глобальных аттракторов динамических систем

• Автор: Чепыжов, Владимир Викторович
• Шифр специальности: 05.13.17
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 236 с.

Оглавление
Введение

I. Основные понятия и вспомогательные результаты

1. Функциональные пространства и теоремы вложения.

2. Почти периодические функции

3. Полугруппы и глобальные аттракторы.

4. Глобальные аттракторы автономных уравнений.

4.1. Системы реакциидиффузии .

4.2. Уравнения ГинзбургаЛандау

4.3. 2 система НавьеСтокса.

4.4. Нелинейное волновое уравнение с диссипацией.

5. Размерность глобальных аттракторов
5.1. Колмогоровская гэнтропия и размерность множеств
5.2. Оценки хаусдорфовой размерности инвариантных множеств
5.3. Применение к инвариантным множествам полугрупп
5.4. Применение к глобальным аттракторам автономных уравнений .
5.5. Оценки снизу размерности глобальных аттракторов.
II. Глобальные аттракторы неавтономных уравнений
1. Символы неавтономных уравнений
2. Задача Коши и динамические процессы .
3. Равномерные глобальные аттракторы
4. Сведение к полугруппе в расширенном пространстве.
5. Равномерные по г К глобальные аттракторы
6. Аттракторы неавтономных уравнений математической физики . .
6.1. Двумерная система НавьеСтокса .
6.2. Неавтономные системы реакциидиффузии.
6.3. Неавтономное уравнение ГинзбургаЛандау.
6.4. Неавтономное волновое уравнение с диссипацией
III. Колмогоровская сэнтропия и размерность ядер уравнений
1. Свойства сечений ядер процессов
2. энтропия инвариантных множеств.
Оглавление
3. Решетки и покрытия .
4. Оптимизация оценок гэнтропии и фрактальной размерности .
5. Об гэнтропии и фрактальной размерности цепочки множеств . .
6. Оценки для сечений ядер процессов
7. Применение к ядрам неавтономных уравнении .
7.1. система НавьеСтокса с зависящей от времени силой . . .
7.2. Система реакциидиффузии, зависящая от времени
7.3. Неавтономные гиперболические уравнения с диссипацией . .
8. Некоторые дополнительные замечания.
IV. Колмогоровская гэнтропия глобальных аттракторов
1. Общие оценки гэнтропии равномерных аттракторов
2. О фрактальной размерности равномерных аттракторов .
3. Функциональная размерность и метрический порядок
4. Трансляционно компактные функции
4.1. Трансляционно компактные функции в С0СК Л4
4.2. Трансляционно компактные функции в Ь1К
4.3. Другие трансляционно компактные функции.
5. Применение к неавтономным уравнениям
5.1. 2И система НавьеСтокса.
5.2. Нижние оценки для размерности глобальных аттракторов . .
5.3. Системы реакциидиффузии .
5.4. Уравнение ГинзбургаЛандау
5.5. Гиперболические уравнения с диссипацией
6. Колмогоровская гэнтропия и метрический порядок
6.1. Некоторые почти периодические функции
6.2. Класс функций из теории информации .
7. Колмогоровская гэнтропия в расширенном пространстве.
V. Полупроцессы и их глобальные аттракторы
1. Семейства полупроцессов и их глобальные аттракторы
2. О сведении к полугруппе в расширенном пространстве.
3. Неавтономные уравнения с тр.к. на Ш, символам
4. Продолжение полупроцессов до процессов
5. Асимптотически почти периодические функции.
6. Неавтономные уравнения с а.п.п. символами
7. Каскадные системы и их глобальные аттракторы.
Литература


С помощью неравенства (0. А = ({*(<) |* 6 К})я . Если дополнительно известно, что <7о(х,? М и из (0. Д = Ф(! Д) = ёг(Ф(Т*)) < с! Л) = к. Для этого достаточно выбрать подходящую гладкую функцию го(. Так же строится пример почти периодической функции до[х, І), с . Эти примеры указывают на целесообразность изучения в обшем случае колмогоровской 5-энтропии глобального аттрактора А неавтономной системы Навье Стокса. Приступим к изложению основных результатов диссертации но изучению колмогоровской г-энтропии глобальных аттракторов основных неавтономных уравнений математической физики. Рассматривается семейство уравнений (0. Предполагается, что исходный символ aQ(t) является трансляционно-компактной функцией в пространстве C,0C(R; Ф). Рассматривается соответствующее ему семейство процессов {Ua(t, г)}, о ? Н((та). Е. Предполагаются выполненными условия теоремы 0. Тогда процесс {U0o(t, т)} имеет глобальный аттрактор А, который представим в виде (0. Задача заключается в исследовании 5-энтропии НС(. А) = Hе(А,Е) глобального аттрактора А в пространстве Е. При этом предполагается известной 5-энтропия множества П0,;'Н(оо) в пространстве С([0,/];Ф). Здесь Под обозначает оператор сужения на отрезок [0, /]. Сформулируем некоторые дополнительные условия для {Uao(t,r)}. Прежде всего, необходимо обобщить понятие квазидифференцируемости, введенное для полугрупп в формуле (0. Пусть {U(t,r)} - некоторый процесс в Е. Пространство Е предполагается гильбертовым. Рассмотрим ядро К этого процесса. Определение 0. Процесс {Сг(*,т)} в Е называется равномерно квазидиф-ференцируемым на /С. Ц<,г,п)}, где и € ? СІ/г(Д) = +. Hl/for)^ -U{t,T)u-L{t,T,4){ux-u)\E < 7(Н«1-и||е,<-г)||«1-и||к (0. К. причем функция 7 = 7 (? C -+ 0+ для каждого фиксированного s > 0. Предполагается, что процесс {1/*0(? С„0. AffoU(u(i))z, zt=r = zT € E. Ua0(t,T)uT, uT 6 fCO0 {j), т. L(t,r, ur)zT = z(t), где z(t) - решение задачи (0. Ка) (г) для любого 2r е Е. Аналогично (0. Шп sup sup - Tr}(Aaou(u(<>)))ds, (0. UO0(t, r)uT, а след Ti:}(L) линейного оператора L определен в (0. V(7hcr2 € Н{<), u € A, h > 0. Сформулируем основной результат. Теорема 0. Пусть выполнены условия теоремы 0. Uao(t,T)} является равномерно квазидифференцируемым на К. У причем его квазидифференциалы порождены уравнением в вариациях (0. Ъ < Я), j = 1,2,3,. Предполагается выполненным условие Липшица (0. Ua(t,r)}, о е Щоъ). Предполагается, что функция q3 выпукла вверх по j. Пусть гп наименьшее число, такое что qm+ < 0 (тогда Ят >0). Тогда для любого д > 0 найдутся такие, числа а € (0,1), ? НЛА) <(d + 6) log, (g) + Н,0(А) + (^^(g^o)) , V? Число C(h) такое же. Липшица (0. Доказательство этой теоремы приведено в главе IV. Сформулируем некоторые важные следствия. Следствие 0. Предположим, что функция (? ТЦсго) компактна а C&(R; Ф). Тогда неравенство (0. H,M)<(rf + i)log2(^)+H? M) + H! W(<)), Ve<€o, (0. Ht (K(<7o)) - <-энтропия оболочки 7i{o{)) в пространстве Сб(Е; Ф). В самом деле, с-энтропия множества В^{Н(аф) в С([0,/];Ф) не превосходит с-энтропию 'Н(оо) в С*>(Е; Ф). Из опенки (0. Ta(t), имеющей бесконечное число рационально независимых частот, основной вклад в оценку е-энтропии глобального аттрактора Л вносит ? Е-энтропия оболочки 'Н(ао), где L — Однако если функция сго(0 имеет конечное число частот, являясь квазипе-риодической, то вклад этой величины сравним с вкладом dlog2(^), что приводит к конечномерности глобального аттрактора. Следствие 0. Пусть в условиях теоремы 0. Ф(й) € CLlp(Т*;Ф). Тогда оценка (0. НЛ. Д) < (d + 5) log2 (g) + Ht0(. Ve < (0. К - константа . II* < ^^1 - ФгИв*> Vd)],(Z? Т*. Напомним, что в автономном случае при А’ = 0 аналогом оценки (0. X = А : с1^(Л) < d. В неавтономном случае. Рассмотрим еще две важные характеристики компактного множества Л* в пространстве Е, введенные А. Н.Колмогоровым и В. М.Тихомировым в []. V, Е) = cif(. V) = Пт (0. Y) = 0. A') < +эс. Поэтому величины df(. Y) и q(A) характеризуют бесконечномерные множества. Примеры вычисления этих величин для различных классов функций приведены в () (см.