О специальных представлениях метрических конфигураций

• Автор: Майсурадзе, Арчил Ивериевич
• Шифр специальности: 05.13.17
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 122 с. : ил.

Оглавление
Введение

0.1 Теория распознавания.

0.2 Меры сходства в распознавании .

0.3 Содержание работы.

0.4 Благодарности.

1 Специальные пространства метрических конфигураций

1.1 Метрики и метрические конфигурации .

1.2 Метрические конфигурации как элементы линейного векторного пространства.

1.3 Достаточные условия выполнения аксиом метрики.

1.4 Ортогональные системы и аксиомы метрики.

2 Неполные системы метрических конфигураций
2.1 Понятие оптимального разложения метрической конфигурации .
2.2 Пример оптимального разложения по системе метрических
конфигураций.
3 Полные системы метрических конфигураций
3.1 Гомогенные системы и гомогенные базисы .
3.2 Ранг метрической конфигурации и ранговые базисы
3.3 Полуметрические ранговые базисы.
4 Представление метрических конфигураций в конечномерных евклидовых пространствах
4.1 Задача оптимального представления метрической конфигурации в конечномерном евклидовом пространстве
4.2 Построение точечной конфигурации в конечномерном евклидовом пространстве по матрице попарных расстояний .
4.3 Ортогональное проектирование, оптимальные свойства
разложения по системе ортогональных векторов.
5 Оптимальные точечные конфигурации связь качества и размерности представления
5.1 Функционалы сравнения метрических конфигураций и свойства оптимальной точечной конфигурации
5.2 Об асимптотическом поведении ошибки представления . .
5.3 Понятие эффективности размерности
5.4 Об одной задаче финансового анализа
Заключение
Список литературы


Одной из первых идей автоматического распознавания образов была классификация объектов с помощью расстояний до эталонов, или критерию минимума расстояния. В этом случае некоторое множество образцов, по одному для каждого класса, хранится в памяти машины. Распознаваемый (входной) объект сравнивается с эталоном каждого класса. Классификация основывается на заранее выбранной мере сходства — критерии соответствия или критерии подобия. Если входной объект по выбранному критерию лучше соответствует эталону некоторого класса, чем эталонам остальных классов, то этот объект классифицируется как принадлежащий этому классу. Такой подход давно используется в устройствах чтения печатных букв, банковских чеков, индексов на конвертах. Следующей идеей стала классификация по методу ближайшего соседа [, ], которая заключалась в том, что анализируемый объект относился к тому классу, к одному из эталонов которого он находился ближе, чем к любому другому эталону любого класса. Такие алгоритмы обычно можно было привести к алгоритмам, основанным на принципе разделения, которые различаются главным образом заданием класса поверхностей, среди которых выбирается поверхность (или набор поверхностей), разделяющая элементы разных классов. При построении алгоритмов, использующих информацию о расстояниях между объектами, также заслуживает особого упоминания метод потенциальных функций [2, ]. В его основе лежит аналогия с известным физическим принципом: сила взаимодействия зависит от потенциала, создаваемого всеми объектами. На объектах различными способами вводится понятие «веса», а в качестве значения функции принадлежности объекта классу используют величину, являющуюся монотонно возрастающей функцией «веса» и монотонно убывающей функцией расстояния. В теории распознавания важную роль играет модель алгоритмов вычисления оценок [,, ], определение которой существенно опирается на понятие меры сходства. Кроме того, отметим аксиоматический подход к пострению функций близости в теории распознавания [, ]. Существенным разделом интеллектуального анализа данных является кластерный анализ (обучение без учителя) []. Подавляющее большинство используемых сегодня методов кластерного анализа тем или иным способом используют меры сходства. Необходимо отметить, что для получения хорошо интерпретируемого результата чаще всего приходиться настраивать именно меру сходства, а не метод кластеризации. На получение удовлетворительных практических результатов при классификации с использованием мер сходства можно рассчитывать только в тех случаях, когда классы обнаруживают тенденцию к проявлению кластерпзационных свойств. Примером подобного свойства может служить следующее («оптимистическое») утверждение: «для всех кластеров наибольшее расстояние между объектами внутри одного кластера меньше минимального расстояния между объектами из разных кластеров». Кластеризация необходима для точного понимания того, сколько и какие именно классы присутствуют в исходных описаниях. Но при нарушении неравенства треугольника анализ кластерпзационных свойств оказывается затруднительным, а результаты их применения не оправдывают ожиданий. Например, попытка объединять в один кластер близко лежащие объекты может войти в противоречие с тем фактом, что в некоторой тройке объектов имеется две пары близких точек и одна пара далеких, что конфликтует с транзитивным отношением эквивалентности «быть в одном кластере». Неравенство треугольника нередко используется и при обосновании различных предлагаемых алгоритмов классификации и кластеризации. Эти аргументы заставляют решать не всегда простую задачу перехода от некоторых оценок близости к полноценным метрическим конфигурациям. Среди разделов математики, изучающих свойства метрик на конечных множествах, в первую очередь следует упомянуть геометрию расстояний (, ]. В частности, в работах по геометрии расстояний можно встретить упоминания о пространствах полуметрик []. При этом среди стандартных конструкций исследования метрических конфигураций в основном упоминаются только различные конусы таких конфигураций [, , ].