Исследование асимптотического поведения многокомпонентных систем с помощью методов спектрального анализа

• Автор: Жижина, Елена Анатольевна
• Шифр специальности: 05.13.17
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 292 с. : ил.

1. Основные результаты.

2. Решетчатые спиновые модели поля в высокотемпературной области.

2.1. Корпускулярная структура, возникающая в спиновых решетчатых моделях

2.1.1. Основные конструкции

2.1.2. Инвариантное подпространство

2.1.3. Разложение подпространства

2.2. Асимптотика убывания корреляций в решетчатых моделях поля

2.2.1. Спектральные свойства операторов Т и IIх на

подпространстве

2.2.2. Вычисление асимптотики убывания корреляций

нечетных мономов.

2.2.3. Спектральные свойства операторов Т и х на
подпространстве
2.2.4. Вычисление асимптотики убывания корреляций
четных мономов
3. Спектральный анализ стохастических динамик.
3.1. Спектральный анализ одномерной стохастической модели Изинга со случайным взаимодействием.
3.1.1. Полное спектральное разложение одномерной стохастической модели Изинга со случайным взаимодействием
3.1.2. Асимптотическое поведение автокорреляционной функции. Случай ограниченного взаимодействия, имеющего изолированный максимум.
3.1.3. Общий случай положительного ограниченного взаимодействия.
3.1.4. Асимптотическое поведение автокорреляционной функции. Случай неограниченного взаимодействия.
3.2. Спектральный анализ стохастической модели плоских ротаторов при высоких температурах
3.2.1. Асимптотика убывания корреляций в случае одновременного сдвига по времени и по пространству. .
3.2.2. Конструкция двучастичного инвариантного подпространства.
3.2.3. Спектральный анализ генератора на двучастичном инвариантном подпространстве.
3.3. Эволюция квазичастиц различных видов на примере стохастической модели БлумеКапел при высоких температурах
3.3.1. Основные построения для модели БлумеКапел.
3.3.2. Построение инвариантного подпространства С НШ
3.3.3. Инвариантное подпространство С
3.3.4. Спектральный анализ оператора Ь на подпространствах и .
3.3.5. Генератор Ь на инвариантных подпространствах Х с иИс
4. Применение методов теории гиббсовских случайных полей к задачам обработки изображений.
4.1. Байесовский подход в задачах восстановления изображений
4.2. Алгоритмы на основе стохастических динамик
4.3. Сходимость аппроксимационных схем
4.4. Эргодические свойства аппроксимационных схем. . .
4.5. Результаты вычислений
5. Предельные теоремы и предельный диффузионный процесс для неоднородного случайного блуждания на решетке.
5.1. Локальная предельная теорема для неоднородного случайного блуждания на решетке
5.2. Предельный диффузионный процесс для неоднородного случайного блуждания на одномерной решетке.
Заключение
Литература


Аь А2 а А, а А2 Аь А2 1. ЛьЛ2,хьМ2ЖЛ1Л2хмьМ2И1ф2,
йР Аь л2 еххХг Аь А2, X 2. Здесь а Л та же функция, что и в формуле 1. Как видно из представления 1. Т2 описывает систему двух взаимодействующих между собой частиц, поэтому мы говорим о подпространстве как 0 пространстве состояний двух частиц первого вида. Заметим, что в общем случае структура двучастичного инвариантного подпространства Н может быть довольно сложной. Л Ах 4 Л2. В соответствии с этим дву частичный спектр трансферматрицы, т. Анализ такой структуры требует более детального исследования трансферматрицы, ограниченной на двучастичном подпространстве, см. В заключение мы сформулируем гипотезу об общей иерархической структуре спектра трансферматрицы спиновых систем на решетке при высоких температурах. Гипотеза. При всех достаточно малых 3 существуют несколько одночастичных ветвей спектра, соответствующих частицам различных типов. При этом в зависимости от вида гамильтониана и вида спинового пространства различные одночастичные ветви спектра могут иметь различный порядок по 3. Далее, существуют двучастичные, трехчастичные и т. Число спектральых ветвей, которые можно построить описанным выше методом, напрямую зависит от малости параметра 3, так как построение инвариантных подпространств и изучение соответствующих ветвей спектра трансферматрицы можно проводить до тех пор, пока спектральные ветви не начнут перекрываться. Асимптотика убывания корреляций в решетчатых моделях поля. Существует большая литература, см. Здесь а ах, х марковское гиббсовское поле, заданное на решетке , Л, В некоторые конечные подмножества решетки, 1 ограниченные функции от поля, зависящие от значений поля о на множествах Ли В соответственно, В у сдвиг множества В на вектор у i среднее по распределению поля. Наш анализ асимптотики убывания корреляций основывается на общем подходе, который был разработан для марковских гиббсовских полей. Этот подход основан на простом замечании о том, что корреляции поля совпадают с матричными элементами некоторой степени трансферматрицы этого поля, и поэтому их асимптотика может быть найдена по имеющейся информации о сташих ветвях спектра трансферматрицы стохастического оператора. Подробное изложение соответствующей теории и основанного на ней метода нахождения асимптотики можно найти в , . Для простоты мы рассмотрим ферромагнитную модель Изинга, хотя как будет видно из дальнейших построений, применяемый здесь метод легко распространяется на более общий класс моделей с четным потенциалом. Рассмотрим спиновое поле а ах 1,х на мерной решетке при высоких температурах Т . X ааУ
Обозначим через ур предельное распределение Гиббса, заданное на пространстве П 1,1 всех конфигураций поля. Как хорошо известно, см. А у В два конечных множества, а у у то1 и оо. М I 1. Д 1. Заметим, что в силу симметрии модели асимптотика корреляций 1. А и В, числа элементов которых имеют различную четность. При этом оказывается, что вид асимптотики для корреляций 1. Теорема 1. Пусть Л и В нечетны. Тогда для любого векторауо, удовлетворяющего условиям 1. Ы, Уо О, иС1 СлА, В,уо некоторая константа, не зависящая от . Замечание. Уо вгдп у 1п О 5, к 1,й 1. Теорема 1. Пусть I 1 и АУ четны. Ау1, ав Ге2т1Ы т 0 5
Здесь туо тот же вектор, что и в теореме 1. Су СуА, В некоторая абсолютная константа. Теорема 1. ГАу1,7в , й2, 1. Сй о1, й3. Здесь 5 константа, которая зависит от гамильтониана модели, и имеет порядок 3, а Са СА, В абсолютные константы. Спектральный анализ одномерной стохастической модели Изинга со случайным взаимодействием. Для изучения стохастических систем со случайным взаимодействием был специально разработан новый подход, в кагором сочетаются описанный выше в первой главе метод построения старших, так называемых одночастичных, инвариантных подпространств генератора модели и последующий спектральный анализ случайных операторов, и в особенности, случайных матриц Якоби. Изинга со случайным взаимодействием. Обозначим через В1 множество всех ребер решетки 1. Как следует из общих результатов см.