Задачи геометрической теории меры в моделях оптимизации транспортных сетей и потоков

• Автор: Степанов, Евгений Олегович
• Шифр специальности: 05.13.17
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 348 с. : ил.

Оглавление
Введение

Основные обозначения

Глава 1. Качественные свойства ирригационных сетей

1. Существование решений

2. Некоторые численные результаты

3. Связные пространства

4. Метрические свойства связных множеств конечной длины

5. Некоторые вспомогательные утверждения

6. Длина оптимальных сетей

7. Местоположение оптимальных сетей

8. Регулярность по Альфорсу и равномерная спрямляемость
Глава 2. Геометрия оптимальных ирригационных сетей
1. Некоторые полезные сведения из топологии
2. Отсутствие петель
3. Концевые точки и точки ветвления
4. Характеризация точек ветвления с помощью средней кривизны
Глава 3. Транспортные сети
1. Задача МонжаКанторовича с условием Дирихле
2. Выбор оптимальной транспортной сети
3. Сведение задачи к минимизации функционала среднею
расстояния
2 Оглавление
Глава 4. Общая задача оптимизации транспортных сетей
1. Постановка задачи
2. Эквивалентная формулировка транспортной задачи
3. Вспомогательные леммы
4. Ослабленная формулировка задачи
5. Свойства ослабленных решений
6. Существование классических решений
Глава 5. Модели с использованием транспортных плотностей 3 Основные факты о потоках
2. Постановка задачи
3. Подпотоки евклидовых потоков
4. Вогнутые функционалы на евклидовых потоках
5. Вспомогательные леммы
6. Потоки и транспортные меры
7. Оценки масс евклидовых потоков
8. Эквивалентная формулировка задачи в частном случае
9. Качественные свойства оптимальных потоков
. Существование решений
Глава 6. Оптимальные ценовые политики для транспортных сетей
1. Постановка задачи
2. Существование решений
3. Качественные свойства оптимальных ценовых политик
4. Некоторые примеры
Заключение
Литература


Эти значения сравниваются с представленными па том же графике численными аппроксимациями значений для некоторых простых симметричных конфигураций сети Е с центром в начале координат, таких как окружность, прямолинейный отрезок, крест (из двух одинаковых прямолинейных отрезков, перпендикулярных друг другу), регулярный треножник (3 одинаковых отрезка, соединенных в единственной общем конце под углом 0 градусов). На рис. КАЧЕСТВЕН! Уаіие о? Рис. Рис. Оптимальные множества дайны 0. Рис. Оптимальные множества длины 1. Рис. На следующей серии рисунков представлены результаты численной аппроксимации оптимальных множеств для случаев, когда (р представляет собой равномерное распределение (т. Лебега) на единичном квадрате в К2 и на единичном шаре в Е3. Рис. Оптимальные множества длины 0. Рис. Оптимальные множества дойны 1. Рис. Рис. РИС. Легко заметить, что метрическое пространство Е с метрикой д локально связно, если и только если для любого X е Е и для любого е > 0 найдется 5 > 0 (возможно, зависящее от е и от я;), такое, что для любой пары точек {х>у} е Е, удовлетворяющих условию й(а:,у) < <5, существует связное множество Г С Е с сПатГ < е. В частности, известным примером связного, но не локально связного пространства является объединение графика функции у = зш1/х, х Ф 0, с отрезком {0} х [-1,1] (со стандартной топологией К2). Путем (соотв. Е будем называть непрерывный (соотв. А именно, путь (соотв. Ь] с Е, соединяющий пару точек {а, Ь} С Е — это образ 1т а некоторого непрерывного (соотв. ОуЬ] С Е —> Е, удовлетворяющего условиям сг(0) = а и о(Ь) = Ь для некоторого Ь е М. Мы будем также говорить, что путь (соотв. Ь] С Е начинается в точке а и заканчивается в точке Ь. Отображение а называется при этом параметризацией [а, Ь. Для краткости мы будем часто отождествлять путь (соотв. Путь (соотв. Липгиицевым, если он допускает непрерывную по Липшицу параметризацию. С7г(, <€[0,1/2), с7-2( — 1), <€[1/2,1]. Наконец, будем обозначать (а, 6) путь (соотв. С Е, а ^ 5, соединяется дугой [а, 6] с Е. Заметим, что в соответствии с приведенными определениями формально всякое топологическое пространств, состоящее из ровно одной точки всегда считается дутообразно и локально дутообразно связным. Ш) тем не менее, полное локачьно связное пространство локально дугообразно связно (теорема Мазуркевича-Мура-Менгера [, § , теорема . Хана-Мазуркевича-Серпинского [, § , теорема . Ь, а Ф 6, содержит дугу, соединяющую эти точки. В частности, топологическое пространство Е дугообразно связно (соотв. Е соединяется некоторым путем [а, 6] С Е (соотв. I] С Е содержит открытое подмножество V С и, такое, что любая пара тоочек последнего соединяется некоторым путем, содержащимся в V). Целью данного параграфа является изучение некоторых метрических свойств связных множеств Е С Кп, удовлетворяющих условию Н1{Т,) < 4-. Стоит отметить, что данное условие влечет также 7^](Е) = Н1(Ё), где Ё обозначает замыкание Ё. Поэтому в дальнейшем мы будем иметь дело именно с замкнутыми множествами. Приведем сначала следующую полезную лемму из []. ЛЕММА 1. Пусть Е С К. Н1(Е) < +оо. Тогда существует сюрьективпая (не обязательно инъективная) липгиицева параметризация о: [О, Ь] —* Е, удовлетворяющая условию о' = 1 п. О>Ь, где Ь < -^ (Е) (такую параметризацию принято называть параметризацией по длине дуги). Пусть х G ? П с Rn проходит черех х (т. Рид (я,/? Определим теперь следующую “меру регулярности” /? П пробегает все прямые Rn, проходящие через х. Мы можем теперь сформулировать следующий вспомогательный технический результат. ЛЕММА 1. Пусть /о С R — компактная окрестность точки tf), и пусть о I —* Rn, /о С I — непрерывная кривая, такая что существует производная 0+. Действительно, в противном случае найдется е > 0 и последовательность {U} С /(), такие, что a(tj/) —* а(/о) при v —> , но - г0| > ? Тогда, с точностью до подпоследовательности (для которой используем тот же индекс), имеем tu —> t 6 I, а значит, в виду непрерывности сг, выполняется сг(^) o{t) при v -* оо. Таким образом, ? Шаг 2. ESMUlS _ о. Если р —> 0+, то из t е о~г(Вр(хо)) следует t —> t0. HUZii!