Равновесные и неравновесные свойства больших случайных систем

• Автор: Пирогов, Сергей Анатольевич
• Шифр специальности: 05.13.17
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 198 с.

Оглавление
Введение

1 Фазовые переходы первого рода в решетчатых системах

1.1 Построение фазовой диаграммы.

1.1.1 Определение контуров

1.1.2 Внутренность контура

1.1.3 Внешние контуры.

1.1.4 Контурные модели

1.1.5 Свойства контурных моделей

1.1.6 Зависимость зР от Р и контурные модели с параметром .

1.1.7 Основная лемма

1.2 Примеры .
1.2.1 Модель Изинга с притяжением
1.2.2 Малые возмущения
1.2.3 Модель Изинга с несколькими состояниями
1.3 Слоистые модели
1.4 Гиббсовская перестройка модели самоорганизованной критичности Бака с взаимодействием Поттса
1.4.1 Модель Поттса на песке
1.4.2 Определения.
1.4.3 Результаты
1.4.4 Случайные кластерные представления
1.4.5 Неустойчивость фазы 3.
1.4.6 Острова в море четверок.
2 Марковские системы с отказами
2.1 Основные определения .
2.2 Симметричная модель Ставской с отказами .
2.3 Несимметричная модель Ставской с отказами
2.4 Классическая модель Ставской с отказами
2.5 Контекстносвободная эволюция слов.
2.5.1 Основные определения
2.5.2 Основные результаты
2.5.3 Временные пределы
3 Случайные блуждания химической кинетики
3.1 Случайные процессы химической кинетики.
3.2 Бинарные химические реакции
3.3 Неподвижные точки бинарных реакций.
3.4 Реакции общего вида
3.5 Обратимость
3.6 Необратимость
Заключение
Литература


Целью исследований, изложенных во второй главе, является изучение случайного процесса, описывающего поведение такой системы автоматов при условии, что в течение достаточно длительного (в пределе — стремящегося к бесконечности) интервала времени система остается неразрушенной. Оказывается, что свойства этого случайного процесса в пределе, когда число автоматов велико, мало зависит от этого числа. Поэтому естественно перейти к термодинамическому пределу, т. Случайный процесс, описывающий поведение бесконечной цепочки автоматов на бесконечном интервале времени, является гиббсовским полем на прямом произведении пространства на время (т. Хотя к этому гиббсовскому полю и не удается непосредственно применить методы исследования из первой главы, но, соединяя метод контурных функционалов с простыми вероятностными оценками и используя развитый Д. Г. Мартиросяном 7] метод исследования устойчивости гиббсовского случайного поля с заданными граничными условиями, удается установить существование фазового перехода и для гиббсовского поля, описывающего поведение системы автоматов в пространстве-времени. Чтобы пояснить понятие отказа, рассмотрим конечную цепь Маркова с фазовым пространством X, переходными вероятностями Р;1П л;, у е X и начальным распределением тгх,. X. Предположим, что множество X представлено в виде объединения двух непересекающихся подмножеств X = У и IV, где У интерпретируется как множество рабочих состояний системы, а IV — как множество аварийных состояний (отказы). Предполагается, что, попав в аварийное состояние, система выходит из строя. Если известно, что в течение N последовательных тактов времени I = 1,. Р(х(1), I- 1, . ЛО = ТГ- 7Гх(1 )Рл(1)х(2) ' * ’ Р. У-! Здесь переменная . У, а 7;,ч — нормирующий множитель. Аналогичное определение можно дать и для системы взаимодействующих автоматов, у каждого из которых имеется свое множество аварийных состояний. Предположим, что переход хотя бы одного из автоматов в аварийное состояние ведет к отказу всей системы. Если предположить, что цепочка автоматов, расположенных в целых точках с номерами г = -Ь+1,. Д—1 в течение тактов времени /, = — 'Г4-1,. Т находилась в неаварийном состоянии, то соответствующая условная мера допускает гиббсовское описание. А именно, если взаимодействие автоматов локально и задано, скажем, условными вероятностями переходов р(. Лх) - - 1пр(. I :а-(М),ж(? Здесь мы не вводим параметр /3, считая /3=1. Это связано с тем, что для системы автоматов, в отличие от термодинамических систем, пет аналога взаимодействия системы с термостатом, позволяющего поддерживать произвольную заданную температуру. Для такого гиббсовского случайного поля на двумерной решетке (*,? Ь —> оо существуют различные предельные режимы. Они достигаются за счет выбора “управления”: граничных значений и :с(? Ставской, для которой уже в отсутствии отказов существуют два различных предельных режима, введение сколь угодно малой вероятности отказа уничтожает нетривиальный стационарный режим и заставляет стационарную меру состредоточиться на детерминированной конфигурации “все единицы”. Содержание второй главы диссертации изложено в работах [,,). Третья глава диссертации посвящена изучению случайных блужданий химической кинетики и взаимосвязей, существующих между этими случайными блужданиями и дифференциальными уравнениями химической кинетики. Формально эти дифференциальные уравнения возникают из случайных блужданий в результате определенной перенормировки интенсивностей перехода (канонический скейлинг). Чтобы доказать сходимость по вероятности траектории случайного блуждания химической кинетики к решению соответствующей системы обыкновенных дифференциальных кравнений, используется теория сходимости операторных полугрупп Троттера-Курца. Далее изучается связь между свойствами решений системы уравнений химической кинетики и инвариантными мерами допредельного марковского процесса. Найдено условие, достаточное для того, чтоюы энтропия Больцмана, обобщенная на произвольную систему химической кинетики, была функцией Ляпунова для этой системы.