Построение алгоритмов компьютерной алгебры на основе методов теории функций

• Автор: Кытманов, Алексей Александрович
• Шифр специальности: 05.13.17
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 228 с.

Оглавление
Введение

1. Предварительные сведения

1.1. Многомерный логарифмический вычет.

1.2. Алгоритмы исключения неизвестных .

1.2.1. Классическая схема исключения неизвестных

1.2.2. Метод исключения неизвестных, основанный на формуле многомерного логарифмического вычета .

1.3. Ядра интегральных представлений и формы объема

1.4. Конструкция торического многообразия

1.5. Когомологии пучков

1.6. Система компьютерной алгебры МАРЬЕ

2. Алгоритм исключения неизвестных из систем неалгебраических уравнений
2.1. Построение аналогов рекуррентных формул Ныотона .
2.1.1. Постановка задачи
2.1.2. Вспомогательные результаты.
2.1.3. Основные результаты
2.1.4. Связь интегралов со степенными суммами
2.2. Исключение неизвестных.
2.3. Вычисление степенных сумм
2.4. Вычисление сумм некоторых рядов .
2.5. Описание алгоритма вычисления степенных сумм.
2.6. Примеры .
Алгоритм построения интегральных представлений
3.1. Ядра, ассоциированные с торичсскими многообразиями . .
3.1.1. Постановка задачи.
3.1.2. Ядра интсгральньгх представлений
3.1.3. Аналог формы объема ФубиниШтуди
3.2. Интегральные представления.
3.2.1. Воспроизводящее свойство ядра.
3.2.2. Общие усреднения ядер Коши
.3.2.3. Интегральное представление в области .
3.3. Примеры с двумерными веерами.
3.4. Приложения в теории вычетов
3.4.1. Формула логарифмического вычета.
3.4.2. Интегральная реализация локального вычета
3.5. Вычисление групп когомологий.
3.6. Описание алгоритма построения интегрального представления по вееру торического многообразия.
3.7. Примеры .
Приложения
4.1. Программа вычисления степенных сумм
4.2. рограмма построения интегрального представления . . . 4 Список литературы.
Введение
Общая характеристика работы
Актуальность


В заключительном пункте параграфа описывается класс систем, для которых интегралы совпадают со степенными суммами. Mj — конечное множество мультииндексов такое, что при а Є координаты &к ^ РІ, к = 1,2,. Но но прежнему предполагается, что ||а|| > к] для всех а € Л4;). Для каждого набора индексов у’і,. П} еде уі,. К, и каждого набора чисел гь . Корни всех таких систем (не лежащие на координатных плоскостях) составляют не более чем счетное множество. Перенумеруем их (с учетом кратностей): 2(2)> • • •, •? Теорема 2. Для системы (0. Таким образом, если 5} > 0 для всех і = 1,. Для каждого мультииндекса <5 с фиксированной ||<5|| только конечное число пссвдостспснных сумм отлично от нуля. Следовательно, формулы (0. Во втором параграфе приводится алгоритм исключения неизвестных для систем неалгебраических уравнений, удовлетворяющих теореме 2. Для его формулировки напомним классические формулы Ньютона. Пусть полином Р(г) имеет вид Р(г) — гп + Ьгп~1 Н Ь 6П_г + Ьп. Обозначим через г, г<2,. Степенные суммы ? Теорема (Рекуррентные формулы Ньютона). Б3 ч- Бу-фі Ч- Л 1- -пЬп = 0, при у > л. Теперь мы можем привести основной результат параграфа. Теорема 2. По теореме 2. Эв- Затем по формулам (0. Р(*) = ! В четвер гом параграфе рассматриваются примеры вычисления сумм кратных рядов, с помощью вычисления интегралов <тд- и степенных сумм дь для систем таких неалгебраических уравнений, для которых эти величины не совпадают, т. Ь{г) = П О + = 0. В пятом параграфе приводится алгоритм компьютерной алгебры, реализующий вычисление по рекуррентным формулам (0. Входными данными основной процедуры являются набор функций {/ь • ¦ ¦, /п} и набор переменных {г1? Для вычисления вплоть до некоторого порядка ||<5|| ^ <7, в качестве функций {/і, . Также в параграфе приводятся процедуры, необходимые для вычисления сумм кратных рядов. Сг[г$г3, где j ^ О, А: ^ 0, / ^ О, 3+к--1 ^ 3, с помощью алгоритма предыдущего параграфа вычисляются интегралы <7(7п|Я,р) ст + в + р<4. Третья глава состоит из семи параграфов и посвящена алгоритму построения семейства интегральных представлений в полиэдрах многомерного комплексного пространства и получению на их основе аналогов классической формулы многомерного логарифмического вычета. В основе исследования данной главы лежит теория торических многообразий. В нервом параграфе приводится построение эталонных форм в пространстве С**, являющихся ядрами интегральных представлений, и доказываются их основные свойства. Также здесь строятся формы объема па торических многообразиях и устанавливается их связь с эталонными формами. Тг = {А 6 С* : |Л] | = 1,. Е (при этом размерность С равна г = с1 — п)} а в конструкции Z{E) участвуют конусы других размерностей. ЦС) (0. С, С) ~ полином, имеющий подходящую полистепень однородности и обращающийся в нуль в точности на Z(E). Е, а полипом д, как и 7{УУ) — по всему вееру Е. Л именно, обозначим через V матрицу из вектор-строк гц,. А = — левый аннулятор матрицы V (т. Каждому упорядоченному набору 3 = (уь. I поставим в соответствие минор АJ матрицы Л, полученный вычеркиванием столбцов с номерами ^п. J, а через ? О обозначены произведения ]| ? Д <1^. Для определения полинома д (знаменателя ядра и>) предположим, что веер Е симплициальный, примитивный и выпуклый. М — набор всех конусов веера Е размерности п. Для всякого конуса <тт с образующими уГП1,. ТПп определим в. VI п :== — ^ ^ <1е1;(г>т1,. ПхтшХ, ‘Ут>+1,. Шп), I = 1,. Выпуклость веера Е обеспечивает полиномиальность д, т. С, А) -+ (А® •. А®г1 • Сь - • •, А? С). Теперь мы можем сформулировать основные результаты второй главы. Напомним, что мы предполагаем ? Теорема 3. Эйлера (0. При действии (0. У —— А . С, и формой ад, которая не содеро/сит сопряженных дифференциалов <1Хг и в каждом из своих слагаемых имеет не более, чем (г — 1) дифференциалов dXj. Для описания двойственного (по Де Раму) ядру о; цикла Г определяющую роль сыграет моментнос отображение и конус Кэлера для многообразия X. Моментное отображение // : С* —)¦ Кг для пространства С* со стан-дартпой симплектической структурой и действием группы О (по формуле (0. С1|2 + • • • + аыЮ|2 = Р1 : (0.