Алгоритмы декомпозиции дифференциальных многочленов

• Автор: Соснин, Михаил Викторович
• Шифр специальности: 05.13.11
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 94 с.

Содержание

0.1 ВВЕДЕНИЕ.

Теория декомпозиции дифференциальных многочленов. Общий случай.

1.1 О структуре мультипликативной группы обратимых

элементов дАламберова кольца

1.2 Отношения порядка

1.3 Неоднозначность в определении Л и С.

1.4 Определение С при известных Р и Л.

1.5 Ключевые наблюдения

1.6 Декомпозиция многочленов многих переменных.

1.7 Определение сепаранты дифференциального многочле

на Л. Полное определение дифференциального многочлена Л в некоторых случаях.
1.8 Алгоритм декомпозиции для случая о Ф 0.
1.9 Пример декомпозиции, где согласно теореме 1 д.м. Л
определяется сразу
1. Переход от декомпозиции Р фЛ к декомпозиции
Р СЛ, где сепаранта 1.
1. Дифференциальная теорема Вандермонда. Алгоритм декомпозиции в общем случае. .
Упрощение алгоритма декомпозиции для некоторых частных случаев. Метод однородного спуска.
2.1 Случай декомпозиции Р , где 3 ЛОДО. .
2.2 Упрощение декомпозиции в случае декомпозиции Р
Л. где 2 ЛОДО. а 1едЛуг огс12 к . . .
2.3 Определение старшей однородной части ЯЛ в дифферен. циальиом многочлене Я.ь .
2.4 Однородный спуск при известном Я.
2.5 Алгоритм непараметрической декомпозиции .
2.5.1 Блок 1 подготовительный.
2.5.2 Переход К декомпозиции Рю 2тК5, где С
ЛОДО. Определение С
2.5.3 Блок определение Я из декомпозиции Рь ЭТ,Я5
при известном 3и.
2.5.4 Блок определение 2г при известном Я Определение Я
2.5.5 Блок определение С по известному Я
2.6 Применение методов декомпозиции к уравнениям Пенлеве
2.7 Определение д.м. Я при известных д.м. Р и С.
Алгоритм декомпозиции дифференциальных многочленов, зависящих от нескольких функций.
3.1 Отношения порядка
3.2 Обобщение основных результатов.
3.3 Обобщение дифференциальной теоремы Вандермонда и алгоритма декомпозиции.
3.4 Однородный спуск. Пример декомпозиции
0.1 ВВЕДЕНИЕ.
Актуальность


В последнее время происходит тесное соприкосновение методов вычислительной математики с одной стороны (отыскание приближённых решений с помощью разностных схем) и менее распространённых методов алгебры (поиск точных решений). Конечной целью является создание эффективных алгоритмов, позволяющих находить либо решения с наперёд заданной точностью, либо точные решения. В данной работе изучаются алгебраические свойства различных дифференциальных колец с точки зрения практической применимости этих свойств к упрощению дифференциальных уравнений. Все современные системы компьютерной алгебры (Maple. Mathematics. MuPAD и др. Количество задач, решаемых алгоритмически, сравнительно невелико — это алгоритм Ри-ша неопределенного интегрирования элементарных функций, алгоритмы нахождения решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в квадратурах (алгоритмы Ковачича и М. Зингера, [], []) а также алгоритмы факторизации линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Пакеты, реализующие алгоритмы Ковачича и Риша, имеются практически во всех системах компьютерной алгебры. Упомянутые выше системы компьютерной алгебры включают пакеты декомпозиции многочленов. Maple (М. Hoeij. Все упомянутые алгоритмы неприменимы к нелинейным обыкновенным дифференциальном уравнениям, тем самым нахождение алгоритмов, упрощающих решение таких уравнений, весьма актуально. Одним из подобных методов упрощения является декомпозиция — представление данного алгебраического дифференциального уравнения P(x1y(x)iy,(x),. Q(x,г(х),г'(т),. R(x,y(x),y'(x),y{n'q)(x)) = г(х). Ознакомим теперь читателя с основными обозначениями, необходимыми для понимания основной части диссертации — теории декомпозиции дифференциальных многочленов. Под В'. R". Вп ? У буДОМ понимать СООТВЄТСТВЄННО первую, вторую. Н) полиуь; производную по я: функций В и у. Выражения (У? Пусть Р - некоторый многочлен от + 1 неизвестных у(х), у'{х),. П*(х) <• коэффициентами, являющимися элементами некоторого дифференциального поля К характеристики ноль. Запишем представление многочлена Р(х. Многочлен Р(х. Число п называется порядком д. Р. а наибольшая из степеней мономов deg(P) — max ? Р, а в правой — ноль, то весьма актуальной является проблема упрощения этого дифференциального алгебраического уравнения. Большинство возникающих в приложениях дифференциальных уравнений являются как раз дифференциальными алгебраическими уравнениями. Поэтому все вопросы, связанные с изучением дифференциально-алгебраических уравнений, представляют огромный интерес и фактически эквивалентны исследованиям кольца дифференциальных многочленов одной или многих переменных. Теория декомпозиции, которой посвящена данная диссертация, состоит в решении следующей задачи: по данному д. Р. зависящему от одной (первая и вторая главы) или нескольких (третья глава) функций найти д. С} \ Я такие, что Р = ф(Д. Я'. Линейным обыкновенным дифференциальным оператором (в дальнейшем. Ч- ап_}(:? Р)п 1 4- . Д1 (. И = означает оператор взятия к-ой производной, а все коэффициенты а,-(ж) принадлежат некоторому дифференциальному полю характеристики ноль: а,(х) 6 К, например, полю рациональных функций от х: К = 0(х). Ь) = ? Ь + о-ЩЬ). П(а 4- Ь) = Ща) 4- ? Ь). Ь{0) = 0, а, Ь ? К, (0. ЛОДО называется приведённым, если его старший коэффициент равен единице: п„(. Под порядком дифференциального оператора будем понимать степень наибольшего дифференцирования, то есть п. Будем говорить, что функция /(х)— решение оператора Ь) если Ь • (/(я)) = 0. ПОДО первого, порядка: (В -I- /г(ж)) • }{х) = 0. К, то она называется гиперэкспоненниальной. Ы*№. I, = (В + а](ж)) • (В 4- а2(ж)) •. К. Множество всех решений д'Аламберовских ЛОДО образуют л: Ал амберово кольцо (см. Д.г) - У (ІХ ¦ /і(х) І (ІХ ¦ /2(х) (їх ¦ /„(¦'¦ І. О- / = 1. Два таких элемента считаются равными. Множество Л О ДО над дифференциальным полем образуют некоммутативное кольцо, где под произведением ЛОДО понимается их композиция: Е — Е) о Е2, то есть для произвольной функции )'{х) верно равенство Е(/(х)) = Ь(Ь2(/(х))). Аналогично понимается сумма и разность ЛОДО. В этом кольце есть левый (и правый) алгоритмы Евклида деления с остатком, а также для любых двух ЛОДО /.