Функциональные системы полиномов и их применение в программировании для вычислительных систем и сетей

• Автор: Мамонтов, Андрей Игоревич
• Шифр специальности: 05.13.11
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 124 с. : ил.

Оглавление
1 Введение

1.1 Предварительные замечания

1.2 Линейные полиномы и параллельные вычисления

1.3 О функциональных системах

1.4 Некоторые прикладные вопросы

1.5 Основные результаты.

2 Необходимые определения

2.1 Проблема полноты в функциональных системах полиномов .

3 Функциональная система линейных полиномов с целыми

неотрицательными коэффициентами

3.1 Проблема полноты в классе ЬН
3.2 Класс 0.
3.3 Класс ЬМ.
3.4 Класс М.
3.5 Некоторые замечания о проблеме выразимости в классе К
4 Функциональная система линейных полиномов с целыми
коэффициентами
4.1 Классы Р и ЬРк
4.2 Классы Ь и .Р
4.3 Классы Ьс и Ьл
4.4 Классы Ст
4.5 Классы 5о и А.
4.6 Классы Р3к
4.7 Класс В
4.8 Классы а, 6
4.9 Критерий полноты.
4. Некоторые свойства базисов. Алгоритмическая разрешимость проблемы полноты
5 Функциональная система линейных полиномов с рациональными коэффициентами
5.1 Класс 00.
5.2 Класс Ь
5.3 Класс Ср0.
5.4 Класс Е.
5.5 Классы иа0
5.6 Класс М
5.7 Критерий относительной полноты.
5.8 О глубине классов ЦК и ЬЪ в
5.9 О глубине класса Ь0 в Р0.
5. Мощность некоторых множеств замкнутых классов в ЦК,
Ц2 и
6 О реализации систем булевых функций арифметическими полиномами
6.1 Арифметические полиномы
6.2 Связь РЪ и множества арифметических полиномов
6.3 Связь ЬЩ и множества линейных арифметических полиномов
6.4 Библиотека для работы с логическими функциями и арифметическими полиномами.
7 Линейные полиномы и их применение в искусственных нейронных сетях.
7.1 Искусственный нейрон.
7.2 Предложения по распараллеливанию вычислений нейронной сети .
7.3 Распараллеливание вычислений нейросети в задаче распознавания образов.
7.4 Дальнейшие результаты об особенностях распараллеливания вычислений нейронных сетей.
7.4.1 О хранении коэффициентов.
7.4.2 Об организации эффективных вычислений
Заключение.
Литература


Вообще, для понимания полезности линейных полиномов для какой-то программистской задачи требуется провести предварительный анализ. При этом следует не подробно описывать модель и исследовать целый ряд её свойств, как часто происходит при использовании других алгебраических методов, а, напротив, сделав ряд упрощений, вычленить из своей задачи довольно простые линейные полиномы. Так при реализации параллельных логических вычислений с помощью арифметических полиномов естественным образом возникают линейные полиномы с целыми коэффициентами. В нейронных сетях используются линейные полиномы с самыми различными коэффициентами (например, целыми числами, вещественными числами, принадлежащими определённому интервалу). Отметим, что в определение нейронных сетей нет ограничения на используемые коэффициенты, этот параметр подбирается в зависимости от задачи. При оперировании с этими линейными полиномами естественно возникают задачи организации эффективных вычислений и, в частности, распараллеливания вычислений, также возникают задачи, связанные с организацией эффективных вычислений. Например, при использовании линейных арифметических полиномов для реализации параллельных логических вычислений возникает проблема больших весовых коэффициентов []. Так что естественным представляется разработка программистских подходов для преодоления этой проблемы. При этом, естественно, весьма желательно чтобы во время экономии памяти при хранении коэффициентов были учтены специальные свойства используемых полиномов. Здесь возможны различные подходы, так в [] в основном рассматриваются способы распараллеливания вычислений на одном процессоре, а, например, в работах [, ] рассмотрено достаточно много методов параллельных вычислений на разных процессорах. Можно также рассмотреть некоторые другие варианты параллелизма. В работе [] при исследованиях параллельных вычислений используется мощный аппарат из теории функциональных систем. Этот подход представляет большой интерес, поскольку в настоящее время в функциональных системах получено много достаточно крупных результатов. То есть, используя средства теории функциональных систем достаточно удобно строить аппарат для решения задач распараллеливания вычислений и программирования результатов распараллеливания. Далее мы подробнее останавливаемся на функциональных системах. Функциональная система представляет собой пару (Р, О), в которой Р — носитель системы — есть множество функций, а О — совокупность операций, заданных на Р, то есть функциональная система — это алгебра, элементами которой являются функции, а операции в этой алгебре соответствуют правилам построения функций друг из друга. Изучены также функциональные системы не всюду определённых функций Л-значной логики [1,,,,,], системы функций, определённых на декартовом произведении нескольких множеств [,, , , , , ], системы отображений, у которых различны области значений переменных и функций [3, 4, , ,, ], функциональная система отображений регулярных множеств слов в фиксированном конечном алфавите [], система специальных множеств функций, называемых пучками [, ], системы с различными вариантами оператора замыкания [8, 9, , , , , , ], системы с операциями алгоритмического и программного типа [2, , , , , , ], функциональные системы графов [, ] и другие. Мы изучаем функциональные системы полиномов. Исследование таких систем начато в [, , , , , ]. Похожие конструкции встречаются также в работах других авторов [, ]. Исследователи функциональных систем полиномов указывают на большое значение этих систем для программирования, в частности для нейронных сетей. В настоящей работе рассматриваются функциональные системы линейных полиномов, и эти системы уже выступают в качестве удобного аппарата для распараллеливания вычислений. Мы выяснили, что при решении ряда задач из области программирования оказываются полезными некоторые математические результаты о функциональных системах полиномов, в частности, результаты, касающиеся проблем полноты и выразимости в этих функциональных системах.