Компьютерно-алгебраические методы решения систем линейных обыкновенных уравнений, основанные на индуцированных рекурренциях

• Автор: Хмельнов, Денис Евгеньевич
• Шифр специальности: 05.13.11
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 138 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Сравнение различных алгоритмов десингуляризации линейных рекуррентных систем с полиномиальными коэффициентами .

1.1. Рекуррентные системы с полиномиальными коэффициентами .

1.2. Общая парадигма десингуляризации чередование шагов редукция сдвиг

1.3. Одноэтапные редукции

1.4. Двухэтапная редукция метод ЕГисключения.

1.5. Сравнение различных методов десингуляризации

Глава 2. Системы линейных обыкновенных уравнений с полиномиальными коэффициентами и индуцированные ими рекурренции.

2.1. Совместимые базисы .

2.2. Свойства различных базисов в ЕГисключениях .

2.3. Расширение базисов на отрицательные степени.
2.4. Предпочтительные и неудобные базисы.
2.5. Построение индуцированных рекуррепций.
Глава 3. Поиск решений систем линейных обыкновенных уравнений с полиномиальными коэффициентами.
3.1. Поиск решений на основе индуцированных рекуррепций
3.2. Новый алгоритм поиска полиномиальных решений
3.3. Новый эвристический алгоритм построения универсального знаменателя
Глава 4. Пакет Ь1пеагРип1опауз1ет8.
4.1. Архитектура пакета
4.2. Детали реализации.
4.3. Примеры использования.
4.4. Экспериментальное сравнение с подходом, основанном на супернеприводимости .
Заключение.
Литература


Предложенный атгоритм является гибридным, используя эффективный алгоритм Бронштейна-Трагера |1б| одновременной редукции для части особых точек системы (все эти точки гарантировано являются регулярными), и метод на основе ЕГ’-исключения только для оставшихся особых точек, считая их нерегулярными. В системе компьютерной алгебры MAPLE ([]) реализован пакет L1-nearFunctionalSystems, предоставляющий процедуры поиска полиномиальных, рациональных, регулярных, логарифмических решений и решений в виде рядов систем обыкновенных уравнений с полиномиальными коэффициентами, а также лежащие в основе алгоритмов поиска этих решений процедуры для построения и десингуляризации индуцированных рекурренций. Практическая и теоретическая ценность. Предложенные в диссертационной работе методы и алгоритмы могут быть встроены в существующие системы компьютерной алгебры, предоставляя пользователям этих систем дополнительные возможности анализа и поиска символьных решений более сложных систем линейных обыкновенных (дифференциальных, разностных и ^-разностных) уравнений с полиномиальными коэффициентами. Поскольку рассматриваемые системы уравнений возникают в различных областях науки и техники, то наличие эффективного инструмента для их решения может помочь в решении практических и теоретических задач в этих областях. Реализованный пакет ЬіпеагРипс-ЬіопаІЗузїетз уже доступен пользователям системы компьютерной алгебры МАРЬЕ ([]). Решение многих задач часто удается свести к решению ряда задач более простого вида. В частности, поиск решений уравнений или систем уравнений в более сложном виде часто удастся свести к ряду задач поиска решений в более простом виде. Таким образом, предложенные подходы и методы могут быть востребованы в дальнейших работах но созданию алгоритмов поиска решений систем линейных обыкновенных уравнений в более сложном виде. По аналогии со скалярным случаем можно ожидать, что в дальнейшем будут разработаны, например, алгоритмы для поиска гипергеометрических, лиувил-левых решений систем, а также алгоритмы поиска решений систем в виде рядов с коэффициентами специального вида (рациональными, даламберовыми, лиувиллевыми и т. Разработан новый алгоритм построения полиномиальных решений систем линейных обыкновенных уравнений с полиномиальными коэффициентами, основанный на использовании индуцированных рекурренций. Разработан новый эвристический алгоритм построения универсального знаменателя решений систем линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами на основе алгоритма Бронштей-на-Трагера []. В системе компьютерной алгебры MAPLE ([]) реализован новый пакет LinearFunctionalSystems, предоставляющий различные процедуры поиска решений систем обыкновенных уравнений с полиномиальными коэффициентами, а также лежащие в основе алгоритмов поиска этих решений процедуры для построения и десипгуляризации индуцированных рекурренций. Описаны практические аспекты реализации соответствующих алгоритмов и проведено экспериментальное сравнение с программами, реализующими альтернативные современные методы. Апробация работы. Семинар МГУ «Компьютерная алгебра», Москва, , и гг. Международная Франко-российская конференция «Перспективы сотрудничества по прикладной математике и информатике», посвященная -летию Фраи ко-Росси некого Института А. М. Ляпунова, Москва, г. Конференция «Ninth Rhine Workshop on Computer Algebra», Nijmegen, Netherlands, r. Объединенный семинар «Компьютерная алгебра» МГУ и ЛИТ ОИЯИ, Дубна. Конференция «8th Annual International Workshop in Computer Algebra in Scientific Computing (CASC’)», Kalamata, Greece, r. Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 7 печатных работах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах из перечня ВАК [-] и 3 статьи в сборниках трудов конференций [, , ]. Личный вклад автора. Li-nearFunctionalSystems в системе компьютерной алгебры MAPLE (||), включая проработку и описание практических аспектов и приемов этой реализации (например, эвристический выбор ведущего элемента и адап тация алгоритма Барсйса [] в реализации алгоритма ЕГ-исключения, описанные к работе [], проработка деталей реализации алгоритма поиска регулярных решений в работах [, ], функциональные спецификации процедур пакета LinearFunctionalSystems в работе []). Брон-штейна-Трагера [1G] в работе [].