Теоретические и алгоритмические основы хаотической динамики релейных и широтно-импульсных систем автоматического управления

• Автор: Жусубалиев, Жаныбай Турсунбаевич
• Шифр специальности: 05.13.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Курск
• Количество страниц: 381 с. : ил

Введение б
1 Выбор базовой модели для исследования закономерностей хаотической динамики, связанных с локальными бифуркациями,

в релейных и широтноимпульсных системах автоматического управления

1.1 Постановка задачи и цель исследований

1.2 Разбиение плоскости параметров отображения Хенона на области периодических и хаотических колебаний

1.3 Бифуркационный анализ отображения Хенона.

1.4 Основные результаты и выводы.

2 Разработка теоретических основ анализа бифуркаций и хаоса

в релейных системах автоматического управления

2.1 Математические модели релейных систем с гистерезисом. То

чечные отображения, порождаемые системами автономных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями
2.2 Разработка методов и алгоритмов численного поиска периодических движений
2.3 Разработка метода анализа локальной устойчивости периодических решений в динамических системах с разрывными правыми
частями
2.3.1 Неавтономные динамические системы
2.3.2 Автономные динамические системы. Локальная устойчивость предельных циклов релейных систем с гистерезисом
2.4 Алгоритмы численного расчета бифуркационных диаграмм и карты динамических режимов
2.5 Основные результаты и выводы
Исследование закономерностей и бифуркационных механизмов хаотизации колебаний и возникновения катастрофических яв
лений в релейных системах автоматического управления
3.1 Разработка базовой модели релейных систем с хаотической динамикой. Двупараметрический анализ динамических режимов .
3.2 Анализ бифуркационных диаграмм и картин ветвления. Выявление закономерностей и бифуркационных сценариев перехода к хаосу
3.3 Исследование причин возникновения хаотических колебаний и
катастрофических явлений
3.3.1 Расчет картины ветвления логистического отображения .
3. Расчет радиуса внутренней области притяжения. Чис
ленные эксперименты и причины хаотизации колебаний .
3.3.3 Анализ механизмов хаотизации колебаний в релейной системе с гистерезисом.
3.4 Основные результаты и выводы
Сложная динамика и хаос в системах автоматического управления с широтноимпульсной модуляцией
4.1 Постановка проблемы и цель исследований.
4.2 Схема замещения и математическая модель системы автоматического управления с широтноимпульсной модуляцией второго рода
4.3 Разработка метода и алгоритма численного поиска периодических решений.
4.4 Анализ локальной устойчивости периодических движений
4.5 Исследование карты динамических режимов и сценариев перехода к хаосу через локальные бифуркации
4.6 Анализ структуры Сбифуркационных границ и закономерностей хаотизации динамических режимов через Сбифуркации . .
4.7 Основные результаты и выводы
5 Исследование резонансных явлений и переходов к хаосу через Сбифуркации периодических движений на поверхности дву
мерного тора
5.1 Базовая кусочногладкая динамическая система с квазипериодическим сценарием перехода к хаосу математическая модель системы управления с широтноимпульсной модуляцией первого рода
5.2 Анализ карты динамических режимов и переходов к хаосу через режим двухчастотных квазипериодических колебаний.
5.3 Исследование структуры резонансных областей и Сбифуркаций
циклов на поверхности двумерного тора.
5.4 Основные результаты и выводы
6 Недетерминированные режимы в релейных системах автоматического управления электроприводами постоянного тока систем автоматизации технологических процессов
6.1 Постановка задачи и цель исследования
6.2 Схема замещения и математическая модель системы управления с двухпозиционным релейным элементом, содержащим временную зону нечувствительности и гистерезис
6.3 Закономерности усложнения колебаний в релейной системе с гистерезисом и временной зоной нечувствительности
6.4 Механизмы нарушения синхронизации и возникновения недетерминированных режимов в релейных системах с внешней принудительной синхронизацией колебаний.
6.5 Основные результаты и выводы.
7 Разработка принципов построения и технических средств реализации релейных систем автоматического управления
7.1 Принципы построения релейных систем автоматического управления электроприводами с преобразователями электрической энергии.
7.2 Датчики первичной информации для релейных систем автоматического управления электроприводами постоянного тока . . .
7.3 Основные результаты и выводы.
Заключение
Список использованных источников


По аналогии с 6, 7 эти кривые здесь и далее будем обозначать через 1 соответственно. Интересным, с точки зрения понимания большого многообразия различных движений, порождаемых динамической системой 1. II и свойств в совокупности. Пусть П а, 0 1 а 4 0 . Рассмотрим сначала решения уравнения 1. Для т 1 уравнение 1. Рхс 0
2 с РХ1С. При Р П, П а,3 1 а 0 4, 0 уравнение 1. При движении по параметрам вдоль некоторой гладкой кривой траектории деформации внутрь области а в 4, 1 0 1 от этого решения непрерывно ответвляются два действительных корня один из них отвечает устойчивому, а другой неустойчивому 1циклу. При переходе от значений а 0 4 к значениям а 0 4 жестко возникает пара 1циклов. При обратном переходе устойчивый 1цикл исчезает, сливаясь с неустойчивым в точках пересечения траектории деформации с кривой 1. Легко видеть, что а 4 0. Проследим теперь за эволюцией устойчивого и неустойчивого 1циклов при изменении а от отрицательных значений к положительным при переходе через а 0. Обозначим через XУ решения уравнения 1. При а 0 уравнение 1. Отсюда решение уравнения 1. Пи, тогда как Агс непрерывно в Пд за исключением точек, в которых о 0. В точках а 0, 0 1 решение Хси терпит разрыв второго рода. Различие в характере зависимости решений Х, X от параметров показано на рис. Зависимости мультипликаторов устойчивого и неустойчивого 1циклов приведены на рис. При пересечении траектории деформации с бифуркационной кривой 1. Оба 1цикла продолжают существовать как неустойчивые во всей области параметров за бифуркационной кривой 1. Рис. Для тп 2 уравнение 1. В области а 4 это уравнение имеет четыре действительных корня. Два из них соответствуют двум неустойчивым 1циклам. Множество П2д, на котором определен устойчивый 2цикл, ограничено бифуркационной кривой 1. П2Д о, А0 I2 о 5, 0. Рис. При переходе через границу 1. Для т 2г г 3,4,. Все остальные множества г 3,4,. Множество Пщ слева ограничено бифуркационной кривой 1. На рис. Пд, г 1,2,. Пщ

Рассмотрим теперь и П. Для т 3 из 1. Ар 5 4 З4 2а 0. Корни этого уравнения можно найти только численно. Попытаемся найти уравнение бифуркационной кривой 1У для 3цикла. Учитывая, что при значениях параметров, лежащих на кривой ЛГЬ, уравнение 1. ЗЧ6аааа. Тогда искомая бифуркационная кривая будет лежать на двумерной поверхности рис. Х,Р, 1 8 ца, 3 1 ,
1а,Р ЗЧа1а2 5 2а. Т 1 1 0. Рис. На рис. Остальные области 2,3,. П2д, 3,4,. На рис. Пзд и Пз. Щд 5,6,7,8,,
И
Щ,2 и Щ. Естественно, на рис. Г1. Хенона на области различных режимов колебаний приведено на рис. К участкам границ Щд, образованным множеством точек сгущения, примыкают области хаотичности. На диаграмме выделена только одна из них, которая является наибольшей по параметрам. Эта область на рис. В I существует большое число окон с детерминированной динамикой, начинающихся с жестко возникающих тпциклов. Внутренняя структура таких областей может быть аналогичной той, что приводилась для либо отличаться от не. На рис. Щ7. Области имеют специфические особенности в структуре внутреннего устройства и известны как . Бифуркации и сценарии перехода к хаосу в этих областях являются характерными для многих дву параметрических систем и хорошо изучены . Для любой точки Р П за исключением точки Р 0, в фазовом пространстве динамической системы 1. ХХ0 оо, XX X0. На рис. П2 обозначены те области П незаштрихованная область, где для всех точек Р Ii имеет место 1. Из рис. П, за исключением , пересекаются непусто с Пць причем П Г ф 0 г Ф г, 1. Это означает, что для каждой Р Е ПППр существуют различные устойчивые ттгциклы, соответствующие Пц и П9,р. Ф 0, х Ф . На этих диаграммах легко видеть, что усложнение колебаний при непрерывном изменении параметра а в сторону возрастающих значений происходит путем сгущающейся последовательности бифуркаций удвоения периода, заканчивающейся при некотором критическом значении параметра а установлением апериодического движения. Затем следует область хаотичности. Диапазоны изменения а, в которых наблюдаются хаотические колебания, разделены малыми интервалами, где существуют устойчивые циклы рис. Рис. Рис.