Приближенные методы прогнозирования параметров движения стохастических объектов в задачах управления

• Автор: Балабушкин, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 144 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ

ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ С МАЛЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Обзор методов решения граничных задач.

1.3. Первые поправки к гауссовской аппроксимации.

1.4. Доказательства

1.5. Выводы по главе.

Глава 2. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ МИНИМУМА КООРДИНАТЫ ЛИНЕЙНОЙ

СТОХАСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ.

2.1. Постановка задачи.
2.2. Обзор методов решения задач о распределении экстремумов нестационарных случайных процессов
2.3. Распределение координаты случайного процесса в момент первого обращения ее производной в ноль.
2.4. Аппроксимация распределения минимума координаты диффузионного процесса при малых случайных возмущениях
2.5. Доказательства
2.6. Выводы по главе.
Глава 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ МИНИМУМА ГАУССОВСКОГО ПРЩССА С
СОБРАЗНЫМ ТРЕНДОМ.
3.1. Асимптотика вероятности пересечения винеровским процессом иобразной границы возрастающей кривизны
3.2. Верхняя и нижняя оценки вероятности пересечения для гауссовских процессов с положительными корреляционными функциями.
3.3. Асимптотика вероятности пересечения гауссовским процессом иобратной границы возрастающей кривизны
3.4. Доказательства.
3.5. Выводы по главе
Глава 4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОГНОЗИРУЕМЫХ ОЦЕНОК ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ
4.1. Основные свойства управления с прогнозированием для детерминированных объектов
4.2. Динамические свойства оценок в граничной задаче
4.3. Динамические свойства оценок экстремумов.
4.4. Динамические свойства оценок при неточных измерениях
4.5. Аналог фильтра Калмана для возмущений с недоопределенными характеристиками
4.6. Доказательства
4.7. Выводы по главе.
Глава 5. ЧИСЛОВЫЕ РАСЧЕТЫ
5.1. Опенка вероятности пересечения случайным процессом заданной границы.
5.2. Прогнозирование гарантированных с заданной вероятностью оценок минимальной высоты при уходе самолета на второй круг с посадочной траектории
5.3. Выводы по главе.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
ЛИТЕРАТУРА


Известно [7], что в этих условиях состояние объекта в момент достижения границы, в первом приближении, имеет нормальное распределение. Уточнить данный результат позволяет подход работы [1, где доказано, что параметры распределения выбранной координаты объекта, в частности, моменты этого распределения, могут быть представлены в виде рядов по степеням малого параметра. При этом коэффициенты разложения даются рекуррентной формулой, непосредственное применение которой для практических расчетов довольно затруднительно. Полученное в главе 1 приближенное решение задачи I содержит первые поправки к нормальному распределению, вычисление которых сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. При этом, во-первых, получен результат качественного характера: уточненная оценка квантили координаты смещена по отношению к квантили гауссовской аппроксимации того же порядка вниз, если производная рассматриваемой координаты в начальный момент отрицательна, и вверх - если положительна. Во-вторых, показано, что в этих условиях решение граничной задачи I с точностью до величин более высокого порядка малости является одновременно и решением задачи П. В главе 3 приближенное решение задачи II для линейного объекта получено другим способом, при котором исходная задача формулируется в терминах вероятности пересечения центрированным гауссовским процессом заданной кривой, соответствующей траектории невозмущенного движения объекта. Эта вероятность приближенно определяется в предположении, что граница имеет «параболообразную» (-образную) форму, причем нижняя точка фиксирована, а кривизна в окрестности минимума неограниченно возрастает, при этом малость случайных возмущений не требуется. Еще одним предположением является недифференцируемость случайного процесса, и в этом смысле результаты глав 2 и 3 дополняют друг друга. В главе 4 исследуется поведение различных оценок прогнозируемых параметров (средних, квантилей) при движении управляемого стохастического объекта с точки зрения таких простейших качественных характеристик, как наличие или отсутствие тренда, знак тренда и зависимость тренда от управляющего воздействия. Показывается, как эти свойства оценок влияют на возможность использования опенок для контроля за функционированием объекта и для формирования необходимых управляющих воздействий, в том числе при неточных измерениях, когда оценка текущего состояния объекта и ее погрешность формируются фильтром Калмана. В этой связи рассмотрена также одна задача фильтрации в дискретном времени, в которой уравнение объекта задает связь между предыдущим состоянием и только частью координат следующего состояния (с учетом возмущающего воздействия), тогда как для остальных координат такая информация отсутствует. ТУ-4М. Во-вторых, рассматривается полная модель движения самолета ТУ-ІМ в турбулентной атмосфере с точки трения задачи обеспечения возможности безопасного ухода самолета на второй круг с посадочной траектории. Обосновывается целесообразность непрерывного прогнозирования и предоставления летчику гарантированной с заданной вероятностью оценки минимальной высоты на предполагаемой траектории ухода (то есть квантили соответствующего порядка минимальной высоты). Приводится простая методика расчета оценок, сочетающая метод Монте-Карло с полученными в настоящей работе приближенными аналитическими результатами, и показывается практическая применимость данной методики. Г1о материалам диссертации опубликовано 6 печатных работ. Глава 1. В отой главе рассматривается задача прогнозирования координаты стохастического объекта, уравнение движения которою с учетом воздействия малых случайных возмущений известно, в момент достижения объектом заданной границы в пространстве состояний. Приводятся приближенные выражения для расчета параметров этого распределения. ДО = х . Rl - многомерный винеровский процесс; /(s,4), a(s. Я', непрерывны по s € (г. В соответствии с теоремой Иго при этих условиях решение уравнения (1) существует и единственно, траектории 4/, ДО непрерывны [8], [].