Средства исследования диссипативных хаотических систем по временным рядам

• Автор: Волович, Михаил Евгеньевич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 158 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

1.ОБЗОР МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ХАОТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.

1.1 Обзор основных научных результатов современной нелинейной

1.2 Общая постановка задачи

1.2 Основные понятия теории динамического хаоса

1.3 Классификация динамических систем

1.4 Аттракторы диссипативных систем

1.5 Инвариантные множества динамических систем.

1.6 Устойчивость динамических систем.

1.7 Выводы.
2. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ОЦЕНКИ ХАОТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ.
2.1 Инвариантная мера динамических систем
2.2 Энтропия динамической системы
2.2.1 Обобщенные энтропии Реньи
2.3 Размерности аттракторов динамических систем
2.3.1 Геометрические размерности.
2.3.2 Вероятностные размерности
2.4 Характеристические показатели Ляпунова.
2.4.1 Неподвижные точки обыкновенных дифференциальных уравнений
2.4.2 Периодические решения автономных систем ОДУ
2.4.3 Построение сечения Пуанкаре
2.4.4 Обобщенный подход к исследованию устойчивости
2.4.5 Свойства показателей Ляпунова
2.4.6 Связь показателей Ляпунова с другими характеристиками
2.5 Выводы.
3 РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ХАОТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПО ОДНОМЕРНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ.
3.1 Статистическое моделирование динамических систем.
3.2 Реконструкция по временным рядам.
3.3 Задача выбора параметров реконструкции.
3.3.1 Выбор размерности реконструкции
3.3.2 Выбор временного интервала.
3.4 Алгоритмы поиска ближайших соседей.
3.4.1 Стандартный алгоритм.
3.4.2 Алгоритмы быстрого поиска ближайших соседей
3.5 Фильтрация шумов
3.6 Методы расчета показателей Ляпунова.
3.6.1 Мультипликативная эргодическая теорема
3.6.2 Оценка показателей Ляпунова по временному ряду
3.7 Оценка энтропии динамической системы по временному ряду
3.8 Оценка корреляционной размерности по временному ряду
3.9 Методика моделирования сложных хаотических систем по временным рядам.
3. Выводы.
4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЗРАБОТАННЫХ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ХАОТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.
4.1 Тестирование алгоритмов на модельных примерах.
4.2 Исследование реально существующих диссипативных
динамических систем, с помощью разработанных средств.
4.4 Выводы.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ


М.Ляпуновым (докторская диссертация «Общая задача об устойчивости движения», ). В г. В. И. Эта теорема лежит в основе современного понимания и применения в нелинейной динамике концепции ляпуновских показателей. Были введены и другие характеристики, позволяющие различать простую и сложную динамику, — динамическая энтропия, известная как энтропия Колмогорова-Синая [3] и топологическая энтропия (Адлер и ДР-)[4]. Значительное влияние на развитие науки о динамическом хаосе оказали абстрактные исследования немецкого математика Георга Кантора. Это, в первую очередь, теория множеств и теория размерности, представления о бесконечных множествах, их сравнении посредством установления взаимнооднозначного соответствия, определение счетного множества и континуума, знаменитый пример множества Кантора служат рабочими инструментами исследователей в области нелинейной динамики. Нетривиальное обобщение понятия размерности, применимое к таким множеством, было разработано Феликсом Хаусдорфом [9] и также стало рабочим инструментом в нелинейной динамике. В г. Э.Лоренц опубликовал статью «Детерминированное непериодическое течение» [], в которой обсуждались результаты численного интегрирования системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений, моделирующей динамику жидкости при конвекции в подогреваемом снизу слое. Лоренц подверг полученные результаты тщательному и глубокому обсуждению, акцентировав внимание на взаимосвязи между наблюдаемой сложной динамикой и присущей системе неустойчивостью фазовых траекторий. Примерно в то же самое время А. Н. Ораевский с соавторами также получили непериодические решения для аналогичных уравнений в теории одномодового лазера [2,3]. Как работа Лоренца, опубликованная в метеорологическом журнале, так и работа Ораевского не были своевременно замечены и оценены. В г. Д.Рюэль и Ф. О природе турбулентности» []. Рюэля и Такенса. Подчеркивалось наличие неустойчивости фазовых траекторий на странном аттракторе и его нетривиальная геометрическая структура — он представлял собой то, что стали называть фрактальным множеством или просто фракталом. Тем самым было положено начало исследованиям того, что теперь нередко называют «детерминированным хаосом». Понимание этого явления, введение новых понятий и концепций привели к новому взгляду на динамические системы, на математическое моделирование многих явлений, на процедуру сопоставления теории и эксперимента и позволили переосмыслить ряд предшествующих математических результатов. Дальнейшие исследования в этой области показали насколько типичным и всеобщим явлением оказывается хаотическое поведение в системах с небольшим числом степеней свободы. Много внимания уделяется фракталам и концепциям типа параметров порядка, отвечающим на вопрос о том системе скольких дифференциальных уравнений отвечает поведение исследуемой динамической системы на аттракторе. Теоретические исследования в области динамического хаоса находят все больше применений в различных областях науки и техники. Благодаря динамической природе хаотических режимов и их чувствительности по отношению к малым возмущениям они допускают эффективное управление посредством внешнего контролируемого воздействия. Целью такого воздействия может быть реализация в системе периодического режима вместо хаоса или попадание в заданную область фазового пространства. Эта идея была первоначально выдвинута группой американских исследователей из университета штата Мериленд (Ott, Grebogi, Yorke)[]. Успешные примеры управления хаосом реализованы в механических системах, электронных устройствах, лазерах. В качестве примера можно привести работу (Bollt, Meiss)[], где рассматривается применение методики управления хаосом для того, чтобы направить космический аппарат на Лу^у. Оказывается, что с помощью малых контролируемых воздействий задачу удается решить с очень существенной экономией топлива, правда, ценой увеличения продолжительности полета. Другое направление применения идей и методов нелинейной динамики связано с проблемой обработки сигналов.