Методы робастной оптимизации стратегий в линейных стохастических моделях

• Автор: Платонов, Евгений Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 101 с.

Оглавление
Введение

1 Минимаксная квадратическая оптимизация

1.1. Основные обозначения

1.2. Постановка задачи

1.3. Существование решения .

1.4. Двойственная задача

1.4.1. Решение двойственной задачи.

1.4.2. Доказательство основных теорем

1.4.3. Решение двойственной задачи с неточно заданными параметрами ограничений

2 Алгоритм решения задачи минимаксной квадратической оптимизации

2.1. Алгоритм решения прямой задачи.
2.2. Алгоритм решения двойственной задачи.
2.2.1. Алгоритм решения на многогранном множестве
2.2.2. Алгоритм решения при неопределенности в ограничениях
2.2.3. Различные виды множеств неопределенности
2.3. Регуляризация задачи минимаксной квадратичной оптимизации
3 Минимаксная оптимизация по квантильному критерию
3.1. Постановка задачи
3.2. Решение задачи минимаксной оптимизации.
3.3. Алгоритм построения минимаксной стратегии
4 Прикладная часть
4.1. Задача инвестировании в условиях неопределенности
4.1.1. Постановка задачи инвестирования
4.1.2. Решение задачи инвестирования.
4.1.3. Условие несмещенности в задаче инвестирования.
4.1.4. Численное моделирование различных задач.
4.1.5. Задача с критерием в виде функции полезности
4.1.6. Операционные издержки.
4.2. Задача оптимизации производства
4.3. Примеры решения задач кпантильной оптимизации
4.4. Минимаксная задача оценивания бесконечномерного вектора по конечномерным наблюдениям
4.4.1. Постановка задачи.
4.4.2. Решение задачи оценивания
4.4.3. Модельные примеры
4.5. Прогнозирование движения космического аппарата.
4.5.1. Общая постановка задачи
4.5.2. Задача определения траектории движения КА
4.5.3. Модельный пример.
Заключение
Список литературы


Показано, что при весьма общих условиях переход к двойственной задаче позволяет получить аналитические выражения робастных стратегий через решения двойственной задачи. Кроме тою. Обоснованность применения метода перехода к двойственной задаче в задаче оценивания без ограничений в общих теоретико-игровых терминах была установлена в (4]. В этой же работе найден вариант теоремы о минимаксе, позволяющий утверждать, что при выполнении некоторых условий задача поиска минимаксной стратегии оценивания сводится к решению максимииной проблемы. В работе (5) эта техника была использована для решения задачи минимаксной фильтрации в дискретной модели Калмана. В [] проведено сравнение методов оптимизации, основанных на применении теорем о минимаксе и свойств сопряженных функций. В работах |, 1] показано, что задача минимаксного оценивания в непрерывной модели наблюдений может быть сведена к проблеме моментов, для решения которой можно использовать метода выпуклого анализа и теории двойственности. Как указано выше, в общем случае решение прямой задачи оптимизации требует разработки специальных вычислительных методов. Чаще всею встречающийся подход к построению численных методов для решений задачи (0. Эта формула в частных случаях была получена И. В. Гирса-новым и Б. П. Пшеничным, в общем случае она установлена Дж. М. Данскиным |] и В. Ф. Демьяновым [|. Наиболее полный обзор по данному вопросу дан в |]. С использованием производной по направлению разработан ряд численных методов отыскания оптимальных минимаксных стратегий [, , , , ]. Отдельно имеет смысл выделить стохастические квазиградиентные методы. Основная идея этих методов состоит в использовании вместо точных значений градиентов или их ан&погов (для негладких функций) случайных направлений — стохастических квазиградиентов [, . Стохастические квазиградиентные методы позволяют решать как задачи нелинейного, так и стохастического программирования с достаточно общими ограничениями. Основным недостатком стохастических квазиградиентных методов является медленная скорость сходимости итерационного процесса. Другой метод решения минимаксных задач — это метод штрафных функций. В математическом программировании метод штрафных функций позволяет свести экстремальную задачу с ограничениями к последовательности безусловных задач оптимизации. Это дает возможность применить для решения исходной задачи хорошо изученные методы безусловной оптимизации. Развитие метода штрафных функций идет по двум направлениям. Первое направление состоит в уточнении возможностей метода в классическом математическом программировании; второе — в расширении класса решаемых задач, в том числе для решения минимаксных задач [7, , ]. К достоинствам метода относятся его простота и универсальность, позволяющая использовать его в самых различных задачах. Однако, численная реализации метода штрафов представляет довольно сложную проблему, это связано со специфическим характером получающихся безусловных задач. В частности, при больших значениях параметра штрафа оптимизируемые функции имеют “овражный” вид. Методы преодоления возникающих трудностей существуют (см. Отметим также эффективный численный метод Б. П. Пшеничного, называемый методом линеризации ['). Применение этого метода для решения минимаксных задач описано в []. В заключении обзора численных методов решения задач негладкой оптимизации скажем об одном из последних методов математического программирования. Этот метод позволяет сводить исходной задачи (в том числе и минимаксные) к классам задач, называемым Semidefmite Programming [] и Second-Order Cone Programming (SOCP) [0), которые являются обобщением задач линейного и квадратичного программирования. В основе решения этих задач лежит метод внутренней точки, разработанный Ю. Е. Нестеровым и А. С. Немировским [4]. Похожий способ решения минимаксных задач используется в работах М. Л. Лядова, А. И. Матасова и БД. Бахшияна, когда решение исходной задаче для некоторых специальных классов распределений V сводится к решению задач стандартного или обобщенного линейного программирования [, ). Все описанные численные методы предназначены для решения прямой задачи (0.