Геометрические методы в некоторых задачах устойчивости и управления

• Автор: Бобылева, Ольга Николаевна
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 с.

Введение

Глава 1. Кусочнолинейные функции Ляпунова и локализация спектра устойчивых

матриц.

1.1 Кусочнолинейные функции

Ляпунова.

1.2 Локализация спектра устойчивых

1.3 Устойчивость градиентных

Глава 2. Множество достижимости для задачи управления с фазовыми

ограничениями.

2.1 Принцип Максимума Понтрягина для задачи оптимального управления

с фазовыми ограничениями Явление вырождения принципа максимума

2.2 Множество достижимости для задачи управления с фазовыми
ограничениями
2.3 Основные
теоремы
2.4 Приложение к линейным управляемым
системам.
Заключение.
Список публикаций по теме
диссертации
литературы
Введение


Глава 1. Ляпунова. Локализация спектра устойчивых
1. Устойчивость градиентных
Глава 2. Заключение. В последнее время ряд задач, например, в теории управления потребовал обобщения классических теорем прямого метода Ляпунова. Потребовались исследования функций Ляпунова, являющихся выпуклыми функциями и не являющихся, в то же время, непрерывно дифференцируемыми функциями. Первая глава диссертации посвящена исследованию кусочнолинейных функций Ляпунова линейной стационарной системы и вопросам локализации спектра устойчивых матриц. В работах 3 5 показано, что для асимптотической устойчивости нулевого решения системы 1 необходимы следующие условия существование функции Ляпунова вида 2 и невырожденность матрицы А. В работе будет доказана достаточность выполнения этих условий для асимптотической устойчивости нулевого решения системы. Приведем основные результаты первой главы. В первом параграфе первой главы получены условия существования функции Ляпунова вида 2 для системы 1. Чп . Г1 е Л 0 комплексной плоскости С. IV х Вх,х. Поскольку система 1 однородна, а положительно определенную квадратичную форму на единичной сфере с любой точностью в равномерной метрике можно аппроксимировать кусочнолинейными функциями, то функцию Ляпунова для системы 1 всегда можно построить и в классе кусочнолинейных функций, т. Ух 0, при ЦяЦтО. Заметим, что функция Ух выпукла и непрерывна на И, поэтому является липшицевой на любом ограниченном множестве. Вектор функция x является липшицевой на любом конечном отрезке. Отсюда следует, что и функция будет липшицева на любом конечном отрезке i,2 и почти всюду на нем дифференцируема. Предложение 1. Vx. Пусть Ух кусочнолинейная функция Ляпунова системы 1. М хвПп Ух 1. Множество М является ограниченным выпуклым многогранником в В. Ляпунова Ух. Предложение 2. Условия, при которых многогранник М С будет порождающим многогранником некоторой кусочнолинейной функции Ляпунова системы 1, можно сформулировать и в терминах его вершин. М С . Предложение 3. Ь1 6,6,1 Ь, Ь Ь. Ьн б. Предложение 4. Пусть для системы 1 существует функция Ляпунова вида 2. Тогда нулевое решение системы 1 устойчиво по Ляпунову. Пусть для системы 1 существует функция Ляпунова вида 2. Теорема 1. А с К А. Если характеристика неизвестна, но для системы 1 удастся построить функцию Ляпунова с п образующими, то информацию о расположении спектра сгА матрицы А можно получить, используя формулируемую ниже теорему 2. Теорема 2. А С Сдг. Следствие 1. Пусть для системы 1 существует функция Ляпунова вида 2 и матрица А невырождена. Тогда нулевое решение системы 1 асимптотически устойчиво. Предложение 5. Пусть многогранник М порождает функцию Ляпунова вида 2 системы 1. С множество вершин соседних с Ь, то нулевое решение системы 1 асимптотически устойчиво. Теоремы 1 и 2 позволяют получить информацию о расположении спектра устойчивой матрицы, если известна информация о количестве образующих кусочнолинейной функции Ляпунова. Естественно поставить обратную задачу как по спектру аА матрицы А вычислить характеристику 5. В общем случае удается лишь оценить эту характеристику. Однако если спектр матрицы А веществен, то 5 удается вычислить. Теорема 3. Пусть все собственные значения матрицы А отрицательны. Теорема 4. Пусть все собственные значения матрицы А отрицательны. АЬ 6 п сопеЬ Ьь
5 1.