Оптимальное управление начально-краевыми условиями гиперболических систем

• Автор: Аргучинцев, Александр Валерьевич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 237 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .

Глава 1. Оптимизация гиперболических систем с

управляемыми дифференциальными связями на границе .

1.1. Обобщенное решение начальнокраевой задачи .

1.2. Постановка задачи оптимального

управления .

1.3. Формула приращения функционала.

1.4. Принцип максимума .

1.5. Численный метод .

1.6. Вариационные условия оптимальности для

задач, линейных по состоянию .
1.6.1. Постановка задачи
1.6.2. Вариационные принципы максимума
1.6.3. Редукции задач и методы решения
1.7. Линейноквадратичные задачи
оптимизации
1.7.1. Постановка задачи и первая
формула приращения
1.7.2. Вариационный принцип максимума
1.7.3. Вторая формула приращения .
1.7.4. Заключительные замечания
Глава 2. Вариационный принцип максимума в задачах оптимизации с управляемыми конечномерными связями
на границе .
2.1. Постановка задачи .
2.2. Оценка приращения состояния на
. игольчатой вариации управления
2.3. Формула приращения функционала
2.4. Вариационный принцип максимума
2.5. Дифференциальный принцип максимума
и его сравнение с вариационным .
2.6. Метод поиска управлений,
удовлетворяющих вариационному принципу максимума .
Глава 3. Оптимизация гиперболических систем с гладкими граничными и стартовыми управлениями .
3.1. Постановка задачи с поточечными
ограничениями на управление
3.2. Формула приращения и интегральное
необходимое условие оптимальности
3.2.1. Формула приращения
3.2.2. Оценка приращения состояния .
3.2.3. Интегральное необходимое условие оптимальности
3.3. Гладкая вариация управления
и поточечное необходимое
условие оптимальности
3.4. Оптимизация при интегральных ограничениях на гладкие
управления
3.5. Численные методы
Глава 4. Задача оптимального
управления популяцией,
распределенной по возрасту .
4.1. Постановка задачи .
4.2. Формула приращения и необходимое
условие оптимальности
4.3. Численный метод и
результаты расчетов
Глава 5. Численный эксперимент в задаче
восстановления профиля гравитационной волны .
5.1. Постановка задачи.
5.2. Разностные схемы .
5.3. Анализ результатов эксперимента
Заключение
Литература


Цель диссертационной работы - развитие теории и методов системного анализа и оптимального управления объектами, описываемыми системами полулинейных гиперболических уравнений первого порядка; получение неклассических условий оптимальности граничных и стартовых управлений в этих системах; исследование задач оптимизации в сложных системах, когда начально-краевые условия гиперболических систем определяются из управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений; построение новых итерационных методов улучшения допустимых управлений; оценка эффективности методов путем проведения численных экспериментов для прикладных экологических задач. Методы исследования основаны на использовании неклассических формул приращения целевых функционалов; нестандартных вариаций, обеспечивающих гладкость допустимых управлений. В работе использован аппарат современного математического анализа и численных методов. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и заключения. В первой главе рассмотрена задача оптимального управления гиперболической системой, в которой начально-краевые условия определяются из управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Допустимые управления выбираются из класса ограниченных и измеримых функций. Основная цель этой главы - применение идей неклассических точных (без остаточного члена) формул приращения, разработанных в [2, 6, 7) для задач оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений. В начале главы для исследуемого класса задач показана справедливость поточечного принципа максимума. Доказательство проводится методом, основанным на анализе формулы приращения целевого функционала. Данный метод носит конструктивный характер, так как позволяет не только получить необходимое условие оптимальности, но и обосновать возможность применения эффективных процедур последовательных приближений, разработанных в Иркутском университете под руководством профессора О. В.Васильева. Приведен краткий обзор вариантов процедур последовательных приближений, различающихся способами построения областей игольчатого варьирования. Доказано утверждение о достаточности принципа максимума, основанное на анализе лагранжиана задачи. Значительно более нестандартным результатам посвящена вторая часть главы. Рассмотрен вариант линейной гиперболической системы и линейной управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с зависящими от управления коэффициентами при фазовых переменных. Последнее обстоятельство является причиной того, что конечномерный принцип максимума не будет являться достаточным условием оптимальности даже в случае линейного целевого функционала. Соответственно, исходя из теории основанных на принципе максимума методов последовательных приближений, для решения подобных задач необходимо применять общий подход, разработанный для нелинейных задач. Формулы приращения справедливы для двух произвольных допустимых процессов и не содержат остаточных членов. Для случая линейного целевого функционала получены два симметричных варианта формул приращения. Оба варианта позволили свести исходную задачу оптимального управления к значительно более простой задаче оптимального управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Сформулированы и доказаны соответствующие необходимые и достаточные условия оптимальности. Эти условия носят вариационный, а не конечномерный характер. Поэтому по аналогии с [, , , , 1, 2, 3] они названы вариационными принципами максимума. На основе условий оптимальности предложена редукция исходной задачи оптимального управления к более простым задачам оптимизации в системах обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом гиперболическую систему необходимо проинтегрировать всего лишь два раза - в начале процесса (после выбора начального допустимого управления) и в самом его конце. Исследование случая квадратичного целевого функционала привело к двум уже несимметричным результатам. Неклассические формулы приращения второго порядка позволили в одном случае свести исходную задачу к задаче минимизации квадратичного функционала в системе обыкновенных дифференциальных уравнений, а во втором случае - к задаче минимизации линейного функционала в системе обыкновенных дифференциальных уравнений большей размерности.