Методы анализа динамики управляемых систем

• Автор: Зубов, Иван Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 267 с. : ил.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Структурные особенности динамики систем

1. Устойчивость и оптимальность управляемых систем

2. Хаотичность

3. Топологические методы.

4. Диссипативность и автоколебания.

Глава 2. Анализ структурных особенностей управляемых систем

5. Первые интегралы и последние множители

6. Последний множитель и интегральный инвариант

7. Уравнения для последнего множителя

8. Нахождение интеграла. Особый интеграл.
Глава 3. Системы с простой структурой
9. Трехмерные квадратичные системы.
. Уравнение для регулярного интеграла
. Последовательная локализация инвариантных множеств . . Построение системы со странным аттрактором
Глава 4. Системы с инвариантными многообразиями
. Прогнозирование динамики систем.
. Численное интегрирование .
. Устойчивость интегральных многообразий
. Устойчивость консервативных систем с циклическими координатами
Глава 5. Методы исследования распределенных систем
. Совместные системы дифференциальных уравнений . . .
. Вычисление коэффициентов в скобках Пуассона
. Автомодельные решения
. Стабилизация систем с распределенными параметрами .
Глава 6. Анализ динамики систем с неограниченными ре шениями
. Анализ систем с неограниченными решениями
. Устойчивость инвариантных множеств периодических систем
Глава 7. Функции Ляпунова в вычислительной практике
. Единая система вычислительных алгоритмов.
. Метод быстрого обращения матрицы и решения систем
линейных уравнений
. Решение нелинейных уравнений и задач оптимизации . . . Методы построения полярного разложения матрицы . . . Матричные дифференциальные уравнения и методы их
интегрирования
. Численный анализ систем большой размерности
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


Как уже было отмечено ранее, критерий простоты структуры получаемой управляемой системы может превалировать над любыми другими критериями оптимальности. Простота структуры управляемой системы определяется множеством допустимых управлений С. Более общей является задача о переводе любой точки Ап ? Еп на множество 5 или в некоторую окрестность заданного компактного целевого множества. В практических задачах важным является рассмотрение совокупных уравнений управляемой системы, в которую входят уравнения динамики фазовых переменных х>. Управления, зависящие явно от времени чрезвычайно трудно реализуемы на практике, поэтому рассматривают управления, зависящие только от фазовых переменных системы щ = . X* = . Щ= д{{хи. Т^) 1 = 1,. Основная задача процесса регулирования - обеспечение устойчивости управляемой системы [, , 1]. Устойчивость может пониматься по отношению к различным величинам, что связано с конкретным приложением. Наиболее полное определение устойчивости дано А. М. Ляпуновым[]. Это определение устойчивости является универсальным, оно охватывает различные виды предельного поведения решений уравнений динамики систем. Сюда входит устойчивость по части переменных и устойчивость инвариантных множеств (орбитальная устойчивость). Сделаем в системе совокупных уравнений замену переменных. Обозначим У = Х,. Обозначим также/** = /*, для в = 1,. Для г = 1,•••, г. Обозначим также к = п+г. Тогда система совокупных уравнений (1. У = Н(У,*) (1. У Е Е(<. Пусть Е = (бт,. Рассмотрим решение (1. У = У(*,Уо + Е,*о) (1. Это решение назовем возмущенным. Пусть задана векторная функцияЯ = Я{У) = (ФхОО? ЗтООГ> непрерывная по своим аргументам. Также Я будем обозначать значение этой функции на невозмущенном решении. Обозначим значение этой функции на возмущенном решении Е = (Е,. Ет). Я — F обозначим Z = (г^,. При Е = 0 величины ? Е, отличном от нуля. Определение 1. Невозмущенное движение (1. Q(Y),. I ^ Ej j = 1,. IQs ~ < Ls s = (1. Если таких положительных величин Еь. Е*. Qi(y),. Qm(Y). Qi(Y),. Qrn(Y). Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют величины ~1> • • • ? Ъ = Zl,. Zm (1. Понятно, что уравнения возмущенного движения могут быть получены только тогда, когда известно невозмущенное решение (1. Qi(Y),. Qm(Y). Существуют частные случаи, когда уравнения возмущенного движения могут быть составлены - когда в качестве невозмущенного решения берутся очевидные решения системы (1. Ну =0 ) = 1,. Обычно определение устойчивости по Ляпунову дается в упрощенном виде, а именно как устойчивость нулевого решения возмущенной системы (1. Zj. Как уже говорилось ранее, орбитальная устойчивость есть частный случай устойчивости по Ляпунову. X принадлежит некоторому полному нормированному пространству, то устойчивость но Ляпунову инвариантного множества М, эк! X(t, Xq, to), где Х0 € Мпо отношению к величине р. Обычно в курсе дифференциальных уравнений не делается различия между устойчивостью положения равновесия и устойчивостью какого-то индивидуального (невозмущенного) решения, поскольку, зная невозмущенное решение, легко составить систему уравнений возмущенного движения, тривиальное решение которого и изучается на устойчивость. Следует отметить, что методы Ляпунова посвящены именно изучению уравнений возмущенного движения, а не уравнений динамики систем вообще. При изучении уравнений динамики можно исследовать устойчивость возможных положений равновесия, которые находятся чисто алгебраическими методами, решая систему алгебраических уравнений, образованную правыми частями исходных уравнений. Нахождение же невозмущенного решения или некоторого инвариантного множества связано с интегрированием системы уравнений динамики, что в общем случае в математике является terra incognita. Уравнения возмущенного движения могут быть выписаны в случае, если сами уравнения динамики построены в результате решения обратной задачи - при условии существования заданного интегрального многообразия. Здесь пионером был Исаак Ньютон, решивший обратную задачу динамики при открытии закона всемирного тяготения. Широко известны также работы Н. П. Еругина и его школы.