Разработка и исследование метода одновременной оценки корней характеристического уравнения линейной системы

• Автор: Кокорев, Сергей Алексеевич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 186 с. : ил.

1.1екоторые аспекты анализа ЛСАУ

1.1.1 Необходимые и достаточные условия устойчивости ЛСАУ. Характеристическое уравнение ЛСАУ.

1.1.2 Коррекция ЛСАУ.

1.1.3 Жесткие дифференциальные уравнения. Понятие жесткости ЛСАУ.

1.2 Решение характеристического уравнения системы

1.2.1 Общие обозначения

1.2.2 Методы нахождения корней нелинейных уравнений

1.2.3 Метод Лагерра

1.2.4 Метод собственных значений.

1.2.5 Метод ДженкинсаТрауба.

1.2.6 Краткий обзор остальных методов

Выводы.
Глава 2. Основная идея метода.
Введение


Рекомендации по нахождению корней системы в темпе с объектом управления будут изложены в главе 5. Жесткие дифференциальные уравнения. Тогда система 1. Для систем с одной переменной уравнения записываются в форме 1. Для формы 1. В разных источниках приводятся разные условия жесткости систем , , , , , , например, в одном из них число жесткости, как и ранее в 1. Пусть имеется система дифференциальных уравнений
тахКеЯ
3 КеД0ДуЛЭА КеЛ0Зт1тЛш 0,еслиКеДЛ. Последнее определение является наиболее общим по смыслу, хотя при этом оно остается наименее формализованным. Для ЛСАУ можно использовать все три определения, но жесткость линейной системы можно также описать и с помощью корней характеристического уравнения последней. Жесткой может считаться система, корни характеристического уравнения которой можно сгруппировать так, чтобы расстояние между корнями в любой группе на порядки отличалось бы от расстояния между любыми двумя соседними группами . Методика разделения корней на подобные группы будет описана в главе 5. Для решения жестких уравнений применяются разные методики, в частности в некоторых источниках рекомендуется использовать неявные методы РунгеКутты, освещены особенности устойчивости этих методов и рассмотрены механизмы их конструирования. Однако для задач автоматического управления в линейных системах с постоянными коэффициентами а также в линейных нестационарных системах наибольших интерес представляет не решение дифференциального уравнения 1. Методы нахождения корней полиномиальных уравнений будут рассмотрены в следующем разделе. Лр 0. Задачей методов, которые будут рассмотрены в этом разделе, является нахождение числа , такого, что при подстановке этого числа в уравнение 1. В процессе приближенного вычисления корней уравнений, выделяют два этапа отделение корней и уточнение корней. На этапе отделения получают приближенные оценки корней или интервалы локализации, такие, чтобы в каждом интервале содержался лишь один корень. Под уточнением корней понимается нахождение таких оценок корней, которые удовлетворяли бы заданной точности. Описываемый в дальнейшем метод состоит из этих двух этапов, которые допускают достаточную свободу в их модификации. Следует отметить, что для нелинейных уравнений общего вида не существует эффективных методов отделения корней, но для случая полиномиальных уравнений можно предложить частное решение этой задачи. Среди многих существующих на данный момент методов и их модификаций, самым простым методом является метод половинного деления или дихотомии. Рассмотрим его. Пусть корень уравнения 1. ДМ Д 1. После такого вычисления производится переход к следующему шагу. Для этог о метода уравнение 1. Итерационный процесс в этом методе строится так
НО СТОИТ отметить, ЧТО СХОДИТСЯ ОН не всегда, а ТОЛЬКО если условие рр I выполняется на всем отрезке следования к конечной оценке корня. Этот метод обобщается на системы нелинейных уравнений, однако мало используется на практике, так как условия сходимости являются слишком жесткими, кроме того, скорость сходимости также зависит от рр. Следующим методом в рассмотрении является метод Ньютона, который довольно популярен в библиотеках и инструментах численного решения нелинейных уравнений. В качестве примера можно привести функцию популярного пакета , в которой используется данный метод. Формулой 1. Последний сходится медленнее, чем метод 1. Метод Ньютона обобщается и на системы нелинейных уравнений, причем в этом случае он так же популярен в различных математических пакетах. Обычно метод Ньютона используется в окрестности корня для уточнения его значения. Идеология метода Ньютона в смысле использования разложения в ряд Тейлора функции р в окрестности истинного значения корня не применяется в методе Мюллера, где используются формулы квадратичной интерполяции. Ньютона, где использовалась
р Аш, 1. С ,, 1. У Рк 2. ААрН, 1. Ньютона, тем не менее, имеет следующее преимущество с помощью этого метода можно находить комплексные корни при действительном начальном приближении. Из формулы 1.