Нелинейные стохастические колебания : устойчивость, чувствительность, управление

• Автор: Ряшко, Лев Борисович
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 271 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Среднеквадратичная устойчивость

1.1 Инвариантные многообразия. Стохастическая устойчивость

1.2 Квадратичные функции Ляпунова. Критерий ЭСКустойчивости . .

1.3 Стохастические линейные расширения, устойчивость

1.4 Функции Ляпунова для стохастических линейных расширений. Критерий Рустойчивости

1.5 Теорема о стохастической устойчивости но первому приближению .

1.6 Спектральный критерий.

1.6.1 Системы с шумами второго типа. Оценки спектрального радиуса оператора .

1.7 Устойчивость точки покоя

1.8 Устойчивость цикла
1.8.1 Случай цикла на плоскости .
1.9 Устойчивость 2тора
1.9.1 Случай 2тора в трехмерном пространстве
1. Устойчивость линейных стохастических систем с периодическими коэффициентами .
2 Стохастическая чувствительность
2.1 Функция стохастической чувствительности
2.1.1 Квазипотенциал и его аппроксимация .
2.1.2 Параметризация функции стохастической чувствительности . .
2.1.3 Связь с системами первого приближения.
2.2 Стохастическая чувствительность точки покоя .
2.2.1 Системы с ненормальными матрицами
2.2.2 Индуцированный шумами переход к турбулентности
2.2.3 Стохастическая генерация магнитного поля галактик.
2.3 Стохастическая чувствительность циклов.
2.3.1 Итерационный метод
2.3.2 Чувствительность 2циклов
2.3.3 Стохастический осциллятор ВандерПоля
2.3.4 Брюсселятор с возмущениями неравномерная чувствительность
2.3.5 Чувствительность ЗРциклов
2.3.6 Стохастическая модель Гесслера
2.3.7 Стохастическая модель Лоренца
2.3.8 Разложение функции стохастической чувствительности по малому параметру
2.4 Стохастическая чувствительность 2торов
2.4.1 Чувствительность 2тора в трехмерном пространстве
3 Стабилизация
3.1 Стабилизация инвариантных многообразий.
3.2 Стабилизация точки покоя.
3.3 Стабилизация цикла.
3.3.1 Случай цикла на плоскости .
3.4 Стабилизация 2тора
3.5 Стабилизация линейных стохастических систем с периодическими коэффициентами .
4 Управление стохастической чувствительностью
4.1 Управление чувствительностью инвариантных многообразий
4.2 Управление чувствительностью точки покоя.
4.3 Управление чувствительностью циклов
4.3.1 Случай цикла на плоскости .
4.3.2 Брюсселятор с возмущениями управление чувствительностью
и подавление хаоса .
Заключение
Литература


В работе проведен анализ стохастической чувствительности некоторых нелинейных динамических моделей. Полученные результаты позволяют прояснить вероятностный механизм субкритического перехода ламинарного потока в турбулентный и вызванную шумами генерацию магнитного поля галактик. Раздел 2. Рассматривается случай, когда инвариантным многообразием М системы (1) является предельный цикл, заданный Г-периодическим решением х = ? Решение ? О.Т) задает параметризацию точек цикла: Ж = {? Т). Ж является экспоненциально устойчивым. В системе () вокруг цикла формируется стационарно распределенный пучок случайных траекторий. К1 V(t)r(t) = 0, r(t) = mt)). Здесь F(t) = |^(<)), 5(0 = G[t)GT(t), G(t) = 0 | x(t, s) € т9 } - момент первого возвращения траектории x(t}s) на кривую при атом x(T(s),s) есть точка возвращения; r(s) - функция последования сечений Пуанкаре кривой фазовыми траекториями сисгемы (1) (i? T(s),s)). Функция стохастической чувствительности Ф(я) для 2-тора М системы () имеет параметризацию W(Us) = Ф(х(^,5)). Для матричной функции W(? Ляпунова (), получена соответствующая краевая задача. В случае п = 3, когда codimM = 1, матрица W(t,s) стохастической чувствительности тора имеет вид W(t, s) = //(? J(t, s), где p(t, s) - нормированный вектор, ортогональный тороидальной поверхности в точке x(t,s), ^ скалярная функция д(? H(t,s + 1) = ц(1,s), n{T(s) + t,s) = p{t,r(s)). Здесь a = pJ(FT + F)p, b = pTSp. Ij а(т, s)d. H- p(s), c(s -I-1) = c(s). Решение c(s) системы () может быть найдено методом установления. Рассмотрим последовательности so = s, su — i sk}. T(sk), и со,ci,. Для элементов ск рассмотрим приближения ск, задаваемые рекуррентной формулой ск+1 = акск + 0ку где со - некоторое приближение для с0. Теорема 2. Пусть тор М системы (1) является экспоненциально устойчивым. Конструктивность полученных теоретических результатов иллюстрируется примером. Глава 3 «Стабилизация» состоит из пяти разделов. Здесь на основе теории устойчивости, разработанной в главе 1, исследуется стабилизиру-емость и решается задача синтеза стабилизирующих управлений. В разделе 3. Е R' и E Rl. Здесь f(xyu), <7r(x,u) - достаточно гладкие вектор-функции, wr(t) (г = 1 , . Предполагается, что при и = 0 система () имеет компактное инвариантное многообразие Ж С которое остается инвариантным и для системы (), если <тг(х,0)|м = 0. Рассматривается задача выбора управления и, при котором многообразие М, сохраняя инвариантность, становится для () ЭСК-устойчивым. Стабилизирующий регулятор выбирается из класса достаточно гладких функций и{х), удовлетворяющих условию и(х)м = 0. По теореме 1. Ж нелинейной системы сводится к задаче стабилизации системы соответствующего линейного расширения.