Многомерные области устойчивости линейных непрерывных и дискретных систем управления

• Автор: Николаев, Юрий Павлович
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 155 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Общая характеристика работы

Введение

Часть I. Непрерывные системы управления

Глава 1. Интервальный критерий устойчивости, анализ полиномов

ЭрмитаБилера

1. Интервальный критерий устойчивости

2. Анализ полиномов ЭрмитаБилера. Постановка задачи

3. Точные верхние границы коэффициентов полинома

4. Точные верхние границы корней полинома

5. Полином с точными граничными значениями всех коэффициентов

6. Трехмерная область устойчивости для п 5,6. Исходные данные
7. Геометрия граничной поверхности области устойчивости п 5,6
Выводы по главе 1
Глава 2. Анализ основных геометрических частотных характеристик многомерных областей устойчивости
8. Исходные данные. Постановка задачи
9. Точные верхние границы коэффициентов устойчивых полиномов
. Характерные точки многомерной области устойчивости
. Наибольшее значение граничной частоты
. Аппроксимация многомерной области устойчивости
. Примеры
Выводы по главе 2
Глава 3. Сечение многомерной области устойчивости линейным
многообразием
. Сечение области устойчивости плоскостью общего положения
. Сечение области устойчивости плоскостью Р
. Сечение области устойчивости плоскостью Р
Выводы по главе 3
Глава 4. Условие ограниченности неограниченности области устойчивости
. Ограниченность области устойчивости
. Примеры
Выводы по главе 4
Часть II. Дискретные системы управления
Глава 5. Анализ расположения вершин выпуклой оболочки и метрических
характеристик многомерной области устойчивости
. Исходные данные. Постановка задачи
. О вершинах выпуклой оболочки области устойчивости
. Построение габаритного параллелепипеда для области устойчивости
. Сравнительный анализ объемов области устойчивости и ее габаритного
параллелепипеда
. Выпуклость по направлению области устойчивости
. Пример
Выводы по главе 5
Глава 6. Анализ геометрии Оразбиения двумерной плоскости
произвольных коэффициентов характеристического полинома
. Исходные данные. Постановка задачи
. Предварительный анализ параметрических уравнений й кривой
. Свойства кривой И разбиения плоскости двух произвольных
коэффициентов характеристического полинома. Локальные Эк кривые
. Критические гиперплоскости в пространстве коэффициентов характеристического
полинома
. Примеры
Выводы по главе 6
Глава 7. Симметрия области устойчивости дискретных систем
. Симметрия области устойчивости
. Симметрия сечений области устойчивости
. Примеры
Выводы по главе 7
Глава 8. Анализ кривых Гразбиения и области устойчивости для
конкретных классов характеристических полиномов
. Многогранник Кона. Сечение многогранника координатной плоскостью
. Сечение области устойчивости координатной плоскостью
. Асимптотическая устойчивость разностного уравнения с двумя запаздываниями
. Трехмерная область устойчивости для одного класса полиномов
. Контрпримеры для теорем Харитонова
Выводы по главе 8
Заключение
Основные результаты работы
Список литературы


Все системы данного порядка имеют в этом пространстве одну и только одну область устойчивости. Эта область устойчивости представляется фундаментальной для решения проблемы стабилизации систем с обратной связью (соответствующий выбор коэффициентов усиления стабилизирующего регулятора) и других важных проблем проектирования линейных систем. Задана линейная стационарная система с вектором параметров к и характеристическим полиномом р{Яук)-а0{к)^а](к)Л + . Лп. Вектор а, чьи компоненты являются коэффициентами характеристического полинома р(Л,а)=а0 + а,Л +. Д может рассматриваться как точка в (и +1) - мерном евклидовом пространстве Е"*1 с координатами [а„9аяА9. Каждая система с характеристическим полиномом р(Л,а) определяется одной точкой в этом пространстве. Изменение коэффициентов усиления регулятора вызывает движение этой точки. Для обеспечения устойчивости точка не должна покидать многомерную область устойчивости в пространстве Я**1. Граничная поверхность области устойчивости в пространстве Е”1 задается характеристическим уравнением р(]со,к) = 0, - со < со < оо - для непрерывной системы и уравнением р(е}Ш,к)= 0, 0<со<2л - для дискретной системы. Можно считать, что область устойчивости является отображением левой полуплоскости (непрерывные системы) или единичной круга (дискретные системы) комплексной плоскости корней в пространство Я"*1. Многомерная область устойчивости в пространстве Е"*1 является канонической, так как ее определение не связано с особенностями конкретной исследуемой системы. Это станоартная область устойчивости, которая применима для любой линейной системы с характеристическим полиномом р(Л,а) произвольного порядка п. Последующий переход от пространства ? Еп параметров, т. О-разбиения Неймарка, который предусматривает построение области устойчивости на плоскости двух параметров, например, коэффициентов усиления к{,кг регулятора на основе заданных числовых данных о системе. Причем при изменении числовых характеристик системы и тем более при переходе к новой системе эти вычисления приходится проводить заново, каждый раз начиная построение «с нуля». Аналогичные критические замечания применимы и к методу корневого годографа, так как каждая новая система продуцирует новое множество нелинейных корневых годографов, построение которых требует решения характеристического уравнения для каждого нового значения к и для каждой новой системы. Тема диссертации, т. Вышнеградского []. Работа детально изучена (см. Воронов A. A., ], [Айзерман М. А., ], [Понтрягин JI. С., ] и др. Вышнеградского. Существенно, что Вышнеградский обратил внимание не только на геомегрию, но и на «структуру» области устойчивости: на диаграмме выделена зона апериодической устойчивости, т. Использование обобщенных параметров позволило Вышнеградскому в компактной форме представить результаты решения поставленной задачи. Стодола [Stodola A. Классические работы Эрмита [Hermite С. Рауса [Routh E. J., ] , Гурвица [Hurwitz А. Льенарта - Шипара [Lienard A. М.Н. Chipart М. H., ], Кона [Cohn Л. Так как полученные в них критерии основаны на использовании коэффициентов характеристического полинома, то потенциально они могли быть применены и для анализа области устойчивости. Однако при степенях полинома выше четвертой (для непрерывных систем) и выше второй (дія дискретных систем) необходимые выкладки становятся слишком громоздкими. Возможность применения теорем A. A. Маркова [], и Т. И. Стильтьеса [] для решения проблемы Рауса-Гурвииа рассматривалась Ф. Р. Гантмахеро. В.Л. Харитоновым []. Новые возможности для исследования областей устойчивости появились после разработки критерия Михайлова [] и метода D- разбиения Неймарка []. В западной литературе метод был впервые описан Митровичем [Mitrovic D. Это направление исследований было развито Шильяком [Siljak D. D. ,, , ]. В его работах метод D-разбиения (который он называл методом параметрической плоскости) был детально отработан. Современные примеры применения метода D- разбиения можно найти в [Ackermann/, ]. В нашей стране над развитием метода работает Б. Т. По. П.С. Щербаковым, Е. Н. Грязиной.