Развитие метода D-разбиения в задачах анализа и синтеза систем управления

• Автор: Грязина, Елена Николаевна
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 85 с. : ил.

Оглавление
Обозначения
Введение

1 Классическая задача Лразбиения

1.1 Введение.

1.2 Один вещественный параметр.

1.3 Один комплексный параметр

1.4 Два вещественных параметра.

1.5 Заключение.

2 Построение многомерной области устойчивости для полиномов специального вида

2.1 Постановка задачи

2.2 Робастная устойчивость.
2.2.1 Непрерывный случай
2.2.2 Компонента, содержащая номинальный полином .
2.2.3 Дискретный случай .
2.2.4 Радиус устойчивости
2.3 Структура области устойчивости.
2.3.1 Аналог штриховки в многомерном случае
2.3.2 Оценка числа систем неравенств.
2.4 Заключение.
3 Системы с матричными передаточными функциями
3.1 Постановка задачи Празбиения для матриц.
3.2 Скалярная матрица
3.3 Системы с двумя входами и двумя выходами.
3.4 Диагональная матрица
3.5 Комплексный блок.
3.6 Симметричная матрица.
3.7 Примеры .
3.8 Заключение.
Выводы
Литература


А*(Л) — г-е собственное значение матрицы А Є Епхп. А — определитель матрицы: ск* А = П АДЛ). Вопросы устойчивости систем являются центральными в теории автоматического управления. История становления и развития этой проблематики не оставила равнодушным пи одного исследователя в этой области, перечислим лишь некоторые очерки, посвященные истории вопроса [2,,]. Начало систематических исследований вопросов устойчивости было заложено в работах Максвелла и Вышнеградского [], которые посвящены линейным системам, чьи характеристические уравнения имеют третью степень. В работе И. Л. Вышнеградского [] в завершенной форме сформулированы условия устойчивости таких полиномов, их называют условиями Вышнеградского. Естественным развитием этих работ стала задача о нахождении условий устойчивости полиномов произвольной степени, поставленная Максвеллом [] в конце XIX столетия. Оказывается, эта задача была на тот момент фактически решена Ш. Эр-митом [], однако, его результаты не были доведены до практически удобных алгоритмов или формул и остались неизвестными специалистам, работающим в прикладных областях. Удобный алгоритм, позволяющий для произвольного полинома определить за конечное число простых арифметических действий, является ли полином устойчивым, был предложен Е. Раусом []. Чуть позже, опираясь на работу Эр-мита, А. Гурвиц [] дал независимое от Рауса второе решение этой задачи в виде некоторых неравенств. Это решение получило всеобщую известность, а условия, найденные Гурвицем, называют теперь условиями Рауса-Гурвица. Более того, полиномы с корнями в левой комплексной плоскости иногда называют гурвицевыми. Позднее А. Льенару и М. Шипару [] удалось примерно вдвое уменьшить число неравенств в критерии Гурвица. В дальнейшем условия Гурвица в той или иной форме неоднократно исследовались и переоткрывались. Например, широко известный амплитудно-фазовый критерий A. B. Михайлова [] является геометрическим представлением результатов Эрмита. Нужно сказать, что уже Раус (и все последующие математики, занимавшиеся устойчивостью полиномов) решали на самом деле более общую задачу: найти критерии того, что полином имеет заданное число корней внутри замкнутого контура. Критерий Найквиета [] возник совершенно на другой основе, в связи с исследованием устойчивости работы различных электрических контуров, содержащих электронные усилители с обратной связью. Развитие идеи Вышнеградского описывать область устойчивости в пространстве параметров системы было предпринято в работах A. A. Андронова и А. Г. Майера [3], A. A. Соколова [], P. A. Фрейзера и В. Д. Дункана [], Д. Митровича [], Д. Шильяка [-], С. Лехника []. Фундаментальная серия работ Ю. И. Неймарка [-] с одной стороны, является геометрической трактовкой частотных критериев Найквиста-Михайлова, с другой стороны, метод D-разбиения пространства, параметров линейных систем дает новую технику решения не только задачи устойчивости, но и многих других задач анализа и синтеза, в том числе в робастной постановке. Неоднократно отмечалось [2], что o-разбиение представляет собой контурное отображение границы заданного контура в плоскости корней характеристического полинома в пространство параметров системы, линейно входящих в этот полином. Несмотря на то, что при формулировке метода D-разбиения размерность пространства параметров никак не оговаривается (единственными предположениями является линейная зависимость от параметров и связность контура в плоскости корней), широкое применение метод нашел лишь в случае одного или двух параметров. Принципиальной трудностью применения D-разбиения для систем из многих звеньев служит тот факт, что параметрами реальной системы, как правило, служат величины, характеризующие ее элементы (постоянные времени, коэффициенты усиления и т. Тот же эффект присутствует при рассмотрении систем с матричными передаточными функциями, поскольку детерминант является нелинейной функцией от элементов матрицы. В западной литературе метод D-разбиения, к сожалению, не получил в свое время широкого распространения.