Оптимизация рекуррентных моделей временных рядов на основе B-сплайнов 2-го и 3-го порядков

• Автор: Эшаров, Элзарбек Асанович
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 179 с. : ил.

ВВЕДЕНИЕ

1. БАЗИСНЫЕ СПЛАЙНЫ И ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1. Нормализованные базисные сплайны.

2. Непараметрические модели экстраполяции временных рядов.

2.1. Приведение непараметрической модели временного ряда к

рекуррентному виду Метод движущихся средних.

3. Рекуррентные схемы аппроксимации сплайнами 1й степени

3.1. Рекуррентные формулы аппроксимационного сплайна степени 1 глубины 1

3.2. Оптимизация рекуррентного аппроксимационного сплайна степени 1 глубины 1 .

4. Общая схема рекуррентной аппроксимации сплайнами на основе свойства точности на многочленах

4.1. Доказательство теоремы 1.

4.2. Рекуррентные формулы аппроксимационного сплайна степени 1 глубины
4.3. Оптимизация рекуррентного аппроксимационного сплайна степени 1 глубины
5. Вычислительные основы рекуррентных алгоритмов, использующих Всплайны.
6. Выводы по 1й главе
2. РЕКУРРЕНТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ КВАДРАТИЧЕСКИМИ И КУБИЧЕСКИМИ СПЛАЙНАМИ
1. Рекуррентные формулы аппроксимации со сжатием сплайнами
степени
1.1. Рекуррентные формулы аппроксимации со сжатием сплайнами степени 2 глубины
1.2. Рекуррентные формулы аппроксимации со сжатием сплайнами степени 2 глубины 2.
1.3. Численные примеры и результаты экспериментов.
2. Рекуррентные формулы аппроксимации со сжатием сплайнами степени 3.
2.1. Рекуррентные формулы аппроксимации со сжатием сплайнами степени 3 глубины 1.
2.2. Рекуррентные формулы аппроксимации со сжатием сплайнами степени 3 глубины 2.
2.3. Рекуррентные формулы аппроксимации со сжатием сплайнами степени 3 произвольной глубины р
2.4. Численные примеры и результаты экспериментов.
3. Рекуррентная аппроксимация кубическими сплайнами по заданным значениям в узлах сплайна.
3.1. Постановка задачи
3.2. Теорема характеризации.
3.3. Численные примеры и результаты экспериментов.
4. Выводы по 2й главе.
3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ РЕКУРРЕНТНОГО СПЛАЙН ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДАННЫХ С ПОГРЕШНОСТЯМИ
1. Постановка задачи
2. Оценки дисперсии коэффициентов рекуррентных сплайнов степени 2 в
случае аппроксимации данных с погрешностями.
2.1. Оценка дисперсии коэффициентов рекуррентных сплайнов степени 2 глубины 1 .
2.2. Оптимизация рекуррентных сплайнов степени 2 глубины 1.
2.3. Оценка дисперсии коэффициентов рекуррентных сплайнов степени 2 глубины
2.4. Оптимизация рекуррентных сплайнов степени 2 глубины 2.
3. Оценки дисперсии коэффициентов рекуррентных сплайнов степени 3 в случае аппроксимации данных с погрешностями.
3.1. Оценка дисперсии коэффициентов рекуррентных сплайнов степени 3 глубины 1
3.2. Асимптотическая оптимизация рекуррентных сплайнов степени 3 глубины 1
3.3. Оценка дисперсии коэффициентов рекуррентных сплайнов степени
3 глубины р.
3.4. Асимптотическая оптимизация рекуррентных сплайнов степени 3 глубины 2.
4. Выводы по 3й главе.
4. РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ КРАТКОСРОЧНОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СПЛАЙНОВ
1. Рекуррентная схема прогнозирования сплайнами 1й степени
1.1. Вывод рекуррентных формул прогнозирующего сплайна степени 1 глубины 1
1.2. Оптимизация рекуррентного прогнозирующего сплайна степени 1 глубины 1 .
2. Построение интервального прогноза.
3. Результаты численных экспериментов Сравнение с методом Брауна и другими стандартными методами прогнозирования
4. Примеры прогнозирования на основе рекуррентных сплайнов
4.1. Прогнозирование пен на рынке жилья на основе рекуррентных сплайнов для случая степени 1
4.2. Прогнозирование цен на рынке жилья на основе рекуррентных сплайнов для случая степени 2.
5. Разработка метода краткосрочного прогнозирования цен на рынке жилья
на основе рекуррентных сплайнов.
5.1. Экономическая модель выделения тренда из стоимости жилья
6. Выводы по 4й главе.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


При этом на каждом отрезке участке сплайн представлен моделью вида 2 с системой условий, обеспечивающих непрерывную склейку на границах отрезков в узлах и определенную степень гладкости. В этом случае задача определения коэффициентов а, в 2 обычно решается методом наименьших квадратов МНК , , , . Особенностью большинство работ по использованию сплайнов с полиномиальным базисом является апостериорный режим обработки наблюдений. Такой подход приводит, как правило, к необходимости решать системы линейных алгебраических уравнений большой размерности, что при реализации на ЭВМ сопряжено с рядом известных трудностей. Кроме того, обеспечивая высокую точность оценок, такой подход усложняет обработку данных по мере их поступления. Форма представления через 5сплайны позволяет использовать сплайны при обработке данных в реальном масштабе времени. Она позволяет сглаживать информацию по мере ее поступления, а условия гладкой склейки в узлах сплайна выполняются автоматически в силу свойств 5сплайнов. С этой точки зрения использование 5сплайнов имеет преимущество в силу простоты и компактности представления . При этом в силу финитности базиса 5сплайнов, когда для каждого момента времени , используется значение базиса и коэффициенты разложения по этому базису только в окрестности момента Г 5сплайны дают непараметрическую оценку функции, несмотря на наличие базиса. В последнее время появился ряд работ, посвященных применению сплайнфункций, ориентированных на обработку данных. Дадим краткий обзор работ других авторов, тематика которых близка к данной работе. В работах , оценки параметров аппроксимирующих сплайнов строятся с помощью метода наименьших квадратов. Работа охватывает широкий круг вопросов, связанных с применением сплайнфункций в эконометрии. Здесь рассмотрены проблемы применения линейных, кубических и билинейных сплайнов, особое внимание уделяется различным параметризациям и методике проверки гипотез о наличии структурных изменений, представлены некоторые способы оценивания моделей с неизвестными точками структурных изменений. Вообще говоря, число работ, рассматривающих различные вопросы, возникающие при использовании сплайновых моделей, а также применение этих моделей для решения конкретных прикладных задач, довольно велико. Существенной особенностью этих работ является тот факт, что аппроксимирующий сплайн строится на заданном интервале а, возможных значений независимой переменной, при этом оценки параметров используемых моделей строятся с учетом всего объема наблюдений, полученных с данного интервала, что, как правило, приводит к довольно громоздким алгоритмам. Примерами такого подхода могут служить работы , . В работе Е. А. Кочегуровой построение рекуррентных алгоритмов сглаживания кубическими сплайнами проведено на основе вариационного подхода. МНК. Для выделения тренда случайного процесса используется аппроксимация тренда кусочнополиномиальным сплайном первого порядка. Также предложена рекуррентная оценка параметров сплайна на основе рекуррентного МНК и МНК для данных, объединенных в группы. Для всех случаев исследованы асимптотические свойства построенных оценок. При исследовании оценок, построенных с помощью МНК, получен интересный результат. Оказывается, что поведение сплайна на некотором участке существенно зависит лишь от поведения сплайна на участках, непосредственно примыкающих к рассматриваемому, т. Этот факт дает основание для построения более простых алгоритмов оценивания, не требующих пересчета уже оцененных параметров модели с поступлением новых данных . В работе предложенный подход развит на основе рекуррентной процедуры оценивания сплайнами порядка. Однако, как отмечают сами авторы, увеличение гладкости сплайна приводит к резкому ухудшению точности оценок и уже при третьем порядке сплайна становится невозможным использование приведенного подхода. Способом улучшения точности оценок авторы считают увеличение числа наблюдений внутри звена сплайна, и приводят результаты для двухсот наблюдений на участке. Однако такой способ улучшения делает неэффективным использование разработанных алгоритмов в системах реального времени, т.