Компьютерные методы анализа линейных динамических систем

• Автор: Балонин, Николай Алексеевич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 207 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР МЕТОДОВ КОМПЬЮГЕРНОГО АНАЛИЗА СИСТЕМ

1.1. Сингулярные числа и сингулярные векторы матриц

1.2. Сингулярные числа и сингулярные функции динамических систем

1.3. Содержание ганкелева эксперимента с объектом

1.4. Применение сингулярных чисел для идентификации систем

1.5. Вопросы системного анализа условий идентифицируемости

1.6. Выводы

2. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ ИХ СИММЕТРИЙ

2.1. Введение

2.2. Поиск симметричных или самосопряженных частей
2.3. Мультипликативное симметрирование систем
2.4. Аддитивное симметрирование систем
2.5. Симметрия собственных функций систем
2.6. Примеры экспериментов с симметричными операторами систем
2.7. Выводы
3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
3.1. Спектральные характеристики на ограниченном интервале времени
3.2. Сингулярные функции систем
3.3. Свойства сингулярных функций
3.4. Поиск сингулярных функций на основе частотного подхода
3.5. Графоаналитический метод исследования
3.6. Выводы
ОРГАНИЗАЦИЯ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
ОБРАБОПСИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАТУРНОГО ЭКСПЕРИМЕ1 1ТА
4.1. Основные понятия и определения
4.2. Содержание флипметода в натурном эксперименте
4.3. Распространите флипметода на другие операторы
4.4. Примеры применения флипметода
4.5. Алгоритмы идентификация на основе сингулярных функций
4.6. Выводы
5. СИСТЕМНЫЕ КРИТЕРИИ И ВЫРОЖДЕННЫЕ ЗАДАЧИ
5.1. Введение
5.2. Матричное уравнение Сильвестра
5.3. Меры модального доминирования
5.4. Автоматизация выбора спектра
5.5. Решение вырожденных задач идентификации
5.6. Идентифицируемость систем
5.7. Учет ограничений на управления
5.8. Алгоритмическое и программное обеспечение
5.9. Выводы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ


Перейдем к более полному описанию линейных динамических систем с тем, чтобы ввести интересующие нас понятия более строго. Л" - вектор состояния, и(*), у(() - входной и выходной сигналы соответственно для каждого / > 0. О(р) = С(/? Е - А)"1 В. Р= |еА'ВВ*еА'Л, К = |еА’'С‘СеА''? АР+РА+ВВ =0, А’Я+КА+СС =0. ТРИТ1. Следовательно, собственные числа произведения матриц РК не зависят от выбора базиса и являются вход-выходными инвариантами данной линейной динамической системы. Опираясь на эго обстоятельство, Гловер предложил следующее определение. Определение. Пусть линейная динамическая система (1. В задачах редукции сингулярные числа выстраиваются последовательно по уменьшению их величин. Ш=СА В, к = 1,2,3,, составляющими элементы ганкелевой матрицы Н. УС =[ В, АВ,. А*В, . Н)2 = ^(н*н)=х,(\'/л'/у0 уе) = а. У.=мрк), 0-2. Н, что служит основой еще одного определения. Ганкелева матрица Н может быть интерпретирована как матрица оператора, осуществляющего отображение пространства входных сигналов в прошлом в выходные сигналы в будущем. Запишем некоторый вектор х(0)=Ус[г/(-1),гд;-2),. Пусть при 1> О управление н(/) = 0, тогда выход [у(0),у(),. У0 х(0), что ведет к следующей формуле О(0),:К1)>- ]Т= Н [г/(— 1),г/(—2),. Обратим внимание на инверсию отсчетов входного сигнала по отношению к выходному. Н, является собственным вектором, соответствующим собственному числу Х/(Н*Н)= а,(Н)2 . Собственные векторы матрицы Н являются также и ее сингулярными векторами, поскольку она симметрична. Ганкелевы сингулярные значения, следовательно, это сингулярные значения линейного оператора отображения прошлых сигналов в будущую реакцию. Согласно [5], для моделей (1. Qv{t) = JCeA(,+l’Bv(T)tfT, (1. Q'y(t) = }в*еА‘(т>С*Хт )<*, (1-2. Предположим, что а, - сингулярное значение, отвечающее сингулярному вектору v(t), совпадающему с собственным веісгором ГдГа. Определение сингулярной функции. Гд Гд, удовлетворяющий условию fQ rQv(t)=csi v(/). Данные определения ганкелевых сингулярных значений и сингулярных функций (сингулярных векторов) линейного ганкелева оператора, введенные Гловером [5], естественным образом обобщает аналогичные понятия, применяемые в книге Ч. Лоусона и Р. Хенсона []. Они применены для решения сходных по существу задач вычисления степени обусловленности и редукции плохо обусловленных систем. Напомним, что при определении сингулярных чисел матриц рассматриваются оба произведения А* А и АА#. При переходе к динамическим системам одно из произведений, сходных этому, образует линейный оператор, описывающий прохождение входного сигнала через исходную и сопряженную системы, а второе - дает матрицу кросс-грамиана, образуемую из произведения грамианов управляемости и наблюдаемости, введенных в теории Калмана. Поэтому сингулярные числа динамической системы определяются также через корни квадратные из собственных чисел матрицы кросс-грамиана. В рамках этого направления были постулированы и изучены ганкелевы сингулярные числа, ганкелевы сингулярные функции, ганкелева норма передаточной функции [1, 5, 5, 6], каноническая форма Мура (сбалансированная каноническая форма динамической системы) и др. Ясо-теории [2, 6], при решении задач идентификации параметров математических моделей объектов [9-1]. Из предыдущего следует, что для того, чтобы экспериментально наблюдать действие ганкелева оператора на сигнал «(/), заданный на интервале (0, Ті), надо развернуть его во времени, перейдя к сигналу «(-/), возбудить им систему на интервале (-Ті, 0), и зарегистрировать реакцию на интервале (0, Тг). Далее указанную последовательность действий будем для краткости называть ганкелевым экспериментом. Ганкелев оператор играет важную роль в современной теории. Г описывает отображение прошлых входов в будущие выходы. Ги(1) = |с/(/ - т)и(-т)Л. Сигнал у(0, определяемый этой формулой, можно интерпретировать как реакцию системы при / > 0 на сигнал и(-1), подаваемый на вход системы на интервале времени (-со, 0). На практике длительности сигналов «(/), Х0 берутся конечными и равными Т, где Т - время успокоения системы. На рис. О(р) =— . Рис. Ганкелевы функции скалярной системы.