Использование индекса Конли в задачах анализа нетривиальных инвариантных множеств динамических систем в гильбертовом пространстве

• Автор: Кузнецов, Юрий Олегович
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 67 с.

Содержание
1 Введение

1.1 Общая характеристика работы

1.2 Аксиоматическое описание индекса Конли. о

1.3 Отличие индекса Конли критической точки от топологического индекса

1.4 Краткое содержание.

1.5 Результаты

2 Основные классы функционалов

2.1 Вазовые типы компактности.

2.2 Принципиальные отличия основных определений.

3 Индекс Конли особой точки в гильбертовом пространстве

3.1 Основная лемма
3.2 Индекс Конли .
3.3 Гомотопическая инвариантность индекса Конли.
4 Индекс Конли нетривиальных инвариантных множеств в гильбертовом пространстве
4.1 Индекс Коили нетривиальных инвариантных множеств
4.2 Приложение
4.3 Индекс Конли и теория вращения бесконечномерных полей
4.4 Классический пример
4.5 Возвращение траекторий колебательной системы
4.6 Некоторые методы алгебраической топологии.
5 Принцип минимакса
6 Индекс Конли суммы двух полей
6.1 Специальная гомотопия.
6.2 Примеры и выводы
7 Представление правильного функционала
7.1 Необходимые условия
7.2 Два критерия сильной Яправилыюсти.
8 Заключение
1 Введение
1.1 Общая характеристика работы
Актуальность


Научные положения, защищаемые автором. Это понятие и методы исследования индекса Копли нетривиальных инвариантных множеств в гильбертовом пространстве; методика исследования структуры решений операторных уравнений с сильной нелинейностью; аксиоматическое определение и теоремы о представлении класса допустимых уравнений; формализации доказательства теоремы о седловой точке в условиях пониженной гладкости. Практическая значимость. Результаты настоящей работы могут быть использования для эффективного исследования динамических систем и операторных уравнений, возникающих во многих областях прикладной математики, в том числе: теории управления, оптимизации, теории дифференциальных уравнений с частными производными. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах Московского государственного университета и Института проблем управления РАН. Личный вклад соискателя. Все результаты, вынесенные на защиту, получены автором самостоятельно. В тексте диссертации присутствует глава 3, содержание которой составляет статья [2), выполненная в соавторстве: в этом случае автору принадлежит формалII3aiщя утвержден й. Понятие обобщенного индекса Морса было введено Чарльзом Конли (С. Conley) в работах [. Позднее обобщенный индекс Морса получил имя своего автора и исследователя. Избегая громоздких формулировок, опишем индекс Конли аксиоматически (см. Пусть X — локально компактное топологическое (метрическое) пространство, <р : Rx А'и А —поток па Аг. X, t, s G R. Множество S С X называется инвариантным относительно потока (р. R, 5) = U ? S) = 5. N называют изолирующей окрестностью множества S. Индекс Копли h(S) = h($, (р) изолированного инвариантного множества 5 —это гомотопический тип пространства с отмеченной точкой, определяемый с помощью специальной конструктивной процедуры. Данная процедура в общем случае является достаточно громоздкой и не используется в настоящей работе. Далее нам в основном потребуются свойства индекса, которые перечислены ниже. Нсзаппснмость от изолирующей окрестности) Л(5) может быть вычислен исходя из поведения потока в изолирующей окрестности множества Я, причем различные такие окрестности 5 дадут один и тот же результат. Следовательно, можно говорить об индексе Конли произвольной изолирующей окрестности. Свойство Важевского) Если индекс Конли некоторой изолирующей окрестности Лг нетривиален, т. N фОИ. Деформационное свойство) Если Лг — изолирующая окрестность для параметризованного семейства потоков <рл, Л € [0,1], т. Аг,у? С iitN, Л ? Л(1пу N. Лг, <^1). Формула суммы) Если для некоторого Лг: 1пу N = С тЬХ, причем б'оПб1! Лг) = /г() V /<(5)); здесь V— топологическая сумма. Это означает, что если инвариантное подмножество некоторой изолирующей окрестности состоит из двух непересекающихся компонент, то индекс Конли, вычисленный для этой окрестности, совпадет с суммой индексов, вычисленных для каждой компоненты. В качестве примеров конкретных индексов рассмотрим две классические динамические системы. Пусть X = П? К —гладкая функция, и х? Функции / естественно соответствует поток вдоль интегральных траекторий градиента V/ функции /. Пусть по-прежнему Лг = Еп, (р — поток на X, Г — периодическая траектория. Предположим, что вещественные части показателей Флоке ненулевые; & —количество показателей с положительной вещественной частью. У —несвязная сумма. Подчеркнем, что пп. Коилп, а не дают его аксиоматическое определение. Конструктивное определение индекса и доказательство его корректности можно найти, например, в []. Чтобы не иметь дела с гомотопическим типом топологического пространства, па практике часто рассматривают образ Л(5) при действии какого-либо гомологического функтора, удовлетворяющего аксиомам Стин рода—Эйлеиберга, например, функтора сингулярных гомологий. Образ А(5) при таком отображении называют гомологическим индексом Конли и обозначают СЯ„(5) = С#*(? Свойства гомологического индекса непосредственно следуют из свойств обычного индекса и аксиом групп гомологий. Например, свойства 2-4 примут следующий вид.