Стабилизация неминимально фазовых аффинных систем методом виртуальных выходов

• Автор: Ткачев, Сергей Борисович
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 258 с. : ил.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ .

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АФФИННЫХ СИСТЕМ И ЗАДАЧА СТАБИЛИЗАЦИИ

1.1. Введение

1.2. Квазиканонический вид и нормальная форма стационарной аффинной системы со скалярым управлением

1.3. Стабилизация положения равновесия минимально фазовой системы.

1.4. Стабилизация положения равновесия системы Лоренца

Выводы по главе 1

2. АФФИННЫЕ СИСТЕМЫ СО СКАЛЯРНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ .

2.1. Введение.

2.2. Построение минимально фазовых систем и задача стабилизации в слзчае р 1.

2.3. Глобальная стабилизация .
2.4. Линеаризация нулевой динамики
2.5. Построение минимально фазовых систем и задача стабилизации в случае р 2
2.6. Использование линейного приближения нулевой динамики
2.7. Аффинные системы третьего порядка специального вида
2.8. Построение минимально фазовых систем и задача стабилизации в случае р г
Выводы по главе 2 .
3. АФФИННЫЕ СИСТЕМЫ С ВЕКТОРНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ
3.1. Введение.
3.2. Преобразования и нормальная форма аффинных систем
с векторными входом и выходом
3.3. Стабилизация скоростей судна на воздушной подушке .
3.3.1. Локальная стабилизация
3.3.2. Глобальная стабилизация.
3.4. Случай однородной векторной степени р 2.
3.5. Случай линейной нулевой динамики
3.6. Использование линеаризации нулевой динамики
3.7. Стабилизация вертолета в режиме висения
3.8. Случай неоднородной векторной относительной степени
Выводы по главе 3 .
4. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ АФФИННЫЕ СИСТЕМЫ.
4.1. Введение.
4.2. Квазиканонический вид нестационарной аффинной системы
4.3. Нормальная форма нестационарной системы
4.4. Минимально фазовые нестационарные системы.
4.5. Стабилизация положения равновесия нестационарной минимально фазовой системы
4.6. Равномерная асимптотическая устойчивость в разных переменных
4.7. Нестационарные системы случай р 1
4.8. Нестационарные системы случай р 2
4.9. Пример стабилизации положения равновесия
4 Специальный случай при р 2
4 Нестационарные системы с векторным управлением . .
4 Случай однородной векторной относительной степени
i 1.
4 Случай однородной векторной относительной степени
i 2.
4 Случай неоднородной векторной относительной степени
Выводы по главе 4 .
5. СТАБИЛИЗАЦИЯ ПРОГРАММНОГО ДВИЖЕНИЯ МЕТОДОМ ВИРТУАЛЬНЫХ ВЫХОДОВ.
5.1. Введение.
5.2. Стабилизация программного движения методом виртуальных выходов
5.3. Численное нахождение программного движения
5.4. Пример остановки гипотетической химической реакции
5.5. Пример стабилизации программного движения гипотетической химической реакции
5.6. Пример стабилизации программного движения системы
при р 2
5.7. Специальный вид стационарной системы со скалярным управлением
5.8. Системы с векторным выходом
Выводы по главе 5
6. ПРИНЦИП РАЗДЕЛЕНИЯ ДЛЯ АФФИННЫХ СИСТЕМ .
6.1. Введение.
6.2. Принцип разделения
6.3. Принцип разделения для задачи глобальной стабилизации
Выводы по главе 6
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ


Vq(z) = zT(ATP + PA)z = -zz = -Ц2Ц2. Будем искать функцию Ляпунова для каскадной системы (1. V(г, г]) = ^() + кУо(2), где положительная константа к подлежит определению. Представим производную функции У (г, ) в силу системы (1. Ф1! ЭЦ(ч)(д(г,7? Н|2. Пусть — некоторая достаточно малая замкнутая ограниченная окрестность точки (г, г)) = (0,0). Н(ф. ЧІІ||'гІІ < с||г? С4 > 0. УЫ<-с3\у\2 + сММ-кМ2. Рассмотрим правую часть неравенства (1-) как квадратичную форму и относительно двух переменных ЦЦ и \г\. Сильвестра, при к > с2/4сз. Следовательно, при указанном выборе константы к > 0 производная У(г,г]) в силу системы (1. А||0г! Л < 0 — максимальное собственное число матрицы квадратичной формы V. Пусть miii и Атах — наименьшее и наибольшее собственные числа матрицы Р = Рт > 0. Для функции У(гуг)) из неравенств (1. У(г,г)) = У1(г]) + кУ0(г) > С1ЦЦ2 + &Ат;„||2||2 > с5||(г,7? У{^,п) < с2М2 + ктох||г||2 < с0||(2,)т! С5 = тт(с1, &Ат1П), с<з = тах(с2, ктах). Из полученных неравенств (1. Пусть положение равновесия = 0 системы нулевой динамики экспоненциально устойчиво в целом. Покажем, что при дополнительных предположениях положение равновесия каскадной системы также будет экспоненциально устойчиво в целом. Имеет место следующая теорема. Теорема 1. Если система (1. К", матрица Якоби дд(г, г)/д(г, ) ограничена по норме в Мп, положение равновесия = 0 системы нулевой динамики (1. При выполнении условий теоремы положение равновесия (2,) = = (0, 0) локально экспоненциально устойчиво по теореме 1. Мп существует определенная в Еп функция [] VI () > 0 для которой неравенства (1. Еп. Тогда оценка (1. П?п. Соответственно, в Е” выполняются неравенства (1. Заметим, что применение результатов теоремы 1. Кп, а коэффициент при управлении д^,т]) всюду в Е отличен от нуля. Если для системы (1. Покажем возможности построения различных стабилизирующих управлений с использованием удачно выбранных виртуальных выходов для систем с хаотической динамикой. Проблемы управления системами с хаотической динамикой привлекает большое внимание исследователей с -х годов XX века. Идея управления хаосом и соответствующий метод (СЮУ-метод) были предложены в работе []. Использование виртуальных выходов, относительно которых система является минимально фазовой, позволяет построить стабилизирующие управления, отличные от управлений, построенных другими методами. Ниже приведены случаи, когда построенное управление не зависит от части параметров системы и, следовательно, будет робастным по отношению к значениям таких параметров. Пусть в аффинной системе управление входит в правую часть только одного г-го уравнения и коэффициент при управлении не обращается в нуль в нулевом положении равновесия. Если в качестве виртуального выхода для такой системы выбрать г-ю переменную состояния, то система с этим выходом будет иметь относительную степень, равную единице, и ее можно считать записанной в нормальной форме, соответствующей указанному выходу. При этом остальные уравнения не содержат управление, и поэтому для получения уравнений нулевой динамики достаточно г-ю переменную положить в них равной нулю. Если нулевое положение равновесия системы нулевой динамики будет асимптотически (экспоненциально) устойчиво, стабилизирующее управление может быть построено в виде (1. Система Лоренца с управлением во втором уравнении: случай р = 1. Рассмотрим систему Лоренца с управлением во втором уравнении []. X2 = ГХ1 — Х2 — #1^3 + Ц, (1. Выберем в качестве виртуального выхода у — х2. В этом случае относительная степень этого виртуального выхода аффинной системы (1. ТХ + Х2 4- ХХ$ — С()Х2, СО > 0. В [] также показано, что это управление стабилизирует положение равновесия в целом. Отметим, что показать в данном случае экспоненциальную устойчивость в целом системы (1. Якоби не ограничена по норме в R. Однако это можно сделать из других соображений. С0Х2, (1. Тз = ХХ‘2 — 5. Т3. X2{t) = ? Ьхз = xi(t)ax2(0) exp(-cot). Система Лоренца с управлением во втором уравнении: случай р = 2. Выберем для системы (1.