Методы минимаксно-статической оптимизации и оценивания в линейно-квадратичных моделях

• Автор: Игнащенко, Егор Юрьевич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 113 с. : ил.

Оглавление
Введении.

1 Список сокращений и обозначений

2. Проблемы оптимизации, управления н обработки информации.

3. Математические методы обработки информации в неопределенностохастических моделях

3.1. Минимаксный подход.

3.2. Адаптивный подход.

4. Минимаксные методы оптимизации неопределенностохастических систем.

5. Постановка задачи

5.1. Задача оценивания параметров в модели линейной регрессии

5.2. Задача Марковица и ТобинаМарковица.

Гллвл 1. Минимаксная оптимизация
1.1. Задачи квадратичного программирования с ограничениями в виде линейных уравнений.
1.2. Оптимальные стратегии
1.2.1. Обобщенный метод наименьших квадратов..
1.2.2. Аналитическое решение задачи квадратичного программирования.
1.2.3. Обобщенная теорема Прайса.
1.3. Единственность решения задачи квадратичного программирования.
1.4. Непрерывность решения при выполнении условия его единственности
1.5. Минимаксные стратегии
1.5.1. Лемма о минимаксс.
1.5.2. Теорема о сходимости
1.5.3. Теорема о существовании решения двойственной задачи.
1.6. Алгоритм численного решения минимаксной задачи.
1.6.1. Обоснование алгоритма численного решения минимаксной задачи.
1.7. Некоторые случаи аналитического решения минимаксной задачи.
1.7.1. Обобщенная гельдерова норма.
1.7.2. Построение функции максимума в задаче минимаксной оптимизации.
1.7.3. Множество неопределенности, заданное с помощью поэлементных ограничений
1.8. Постановка задачи квадратичного программирования с ограничениями общего вида
1.9. Методы решения задачи квадратичного программирования с ограничениями общего вида.
Глава 2. Минимаксностатистическаяоптимизлция
2.1. Верхняя доверительная граница для критерия.
2.2. Статистические свойства адаптивной оценки
2.3. Построение доверительных множеств параметров модели
2.3.1. О распределении некоторых функций ковариационной матрицы
2.3.2. Построение доверительных множеств в виде окрестности фиксированной матрицы
2.3.3. Построение доверительных множеств в виде поэлементных ораничений
Глава 3. Минимаксностатистический подход к повышению надежности обработки
ИНФОРМАЦИИ
3.1. Задача оценивания параметров движения
3.1.1. Теорема ГауссаМаркова
3.1.2. О задаче оценивания при неизвестной систематической погрешности ошибок.
3.1.3. Постановка задачи оценивания параметров движения ЛА.
3.1.4. Минимаксное решение задачи оценивания параметров
3.1.5. Численный алгоритм
3.1.6. Априорный синтез множества неопределенности.
3.1.7. Минимаксностатистическое оценивание закона движения ЛА.
3.1.8. Численный пример
3.2. Задачи синтеза оптимальной стратегии инвестирования
3.3. Задача квадратичной оптимизации с ограничениями.общего вида
3.4. Прочие примеры.
3.4.1. Пример 1
3.4.2. Пример 2
3.4.3. Пример 3
3.4.4. Пример 4
3.4.5. Пример 5
3.4.6. Пример 6
3.4.7. Пример 7
3.4.8. Пример 8
Заключение
Список литературы


Однако на практике это предположение является нереалистичным, так как при решении задачи формирования оптимального портфеля ценных бумаг, как ковариационные матрицы доходностей, так и их средние значения могут быть заданны лишь приближенно. Последнее объясняется тем, что указанные характеристики обычно сами являются некоторыми оценками, полученными по априорно известным данным и, следовательно, неизбежно содержат ошибки оценивания. Использование в алгоритме Марковица-Тобина неточных (например, номинальных или оценённых) значений моментных характеристик вектора доходностей существенно снижает надежность принимаемых инвестиционных решений. В последние годы усилия многих исследователей были направлены на решение задач оптимизации, управления и оценивания при неполной информации о параметрах модели исследуемой системы. Важные результаты в этом направлении были получены с помощью минимаксного подхода, который заключается в минимизации по стратегиям функции потерь при наихудшем из возможных сочетании параметров модели. Для эффективного использования указанного подхода необходимо наличие априорно заданных ограниченных множеств неопределенности, содержащих с высокой надежностью неизвестные параметры модели. В приведенных ссылках предлагаются разнообразные подходы к решению перечисленных выше проблем, однако ни одна из них в настоящее время не нашла исчерпывающего решения, а исследования некоторых из них в настоящее время весьма далеки от завершения. В следующем разделе приведен обзор современных математических методов, направленных на решение перечисленных выше проблем, н сформулированы некоторые общие подходы, практическая реализация которых нацелена на существенное повышение качества обработки информации и надежности принятия решений. Математические методы обработки информации и неопределенно-стохастических моделях. Развитие математической теории управления, оптимизации и обработки информации направлено на все большее усложнение применяемых моделей и методов для достижения адекватною описания реальных процессов и повышения надежности получаемых стратегий обработки информации и формирования процессов управления. Если на начальной стадии развития теории управления превалировали классические детерминированные модели, описываемые алгебраическими соотношениями, обыкновенными дифференциальными уравнениями, уравнениями в частных производных, интегральными соотношениями и другими аналогичными моделями [1, , , 5, 1], то дальнейшие теоретические исследования и результаты практического использования полученных методов и алгоритмов показали, что для адекватного описания реальных процессов необходимо использовать модели, органической частью которых являются неопределенные параметры и сигналы, значения и поведение которых заранее нельзя достоверно предсказать. Последнее привело к созданию стохастической теории управления и развитию сопутствующих вероятностно-статистических методов и алгоритмов обработки информации. Естественно, основные усилия были направлены на получение оптимальных по некоторым специальным критериям методов идентификации, фильтрации и. Указанные критерии явно учитывают вероятностно-статистический характер решаемой задачи, а реализация оптимальных алгоритмов обработки информации предполагает наличие необходимого (достаточно большого) объема априорной информации о вероятностных характеристиках случайных параметров и возмущений как в модели исследуемой системы, так и в модели, описывающей систему сбора и регистрации информации, необходимой для организации управления. Методы оптимального оценивания в статических (регрессионных) конечномерных моделях описаны в [, , , , , 3, 0, 2], результаты по оптимальной идентификации моделей временных рядов изложены в [, , 0, 3, 5]. Указанные базовые алгоритмы и их обобщения и разновидности позволяют синтезировать оптимальные стратегии управления, реализуемые в условиях неполной информации о фазовом векторе управляемой системы, причем для линейных динамических систем, квадратичного критерия качества управления и в предположении гауссовости распределения шумов в модели динамики системы и ошибок наблюдений, соответствующие стратегии управления могут быть найдены аналитически [, 8, 5, 6, 1, 2].