Алгоритмы генетического программирования для символьного решения обыкновенных дифференциальных уравнений

• Автор: Бураков, Сергей Васильевич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 140 с. : ил.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Обзор методов решения обыкновенных дифференциальных

уравнений и вариационных задач

1.1. Аналитические методы решения

1.2. Численные методы решения

1.3. Алгоритмы генетического программирования

Выводы

ГЛАВА 2. Алгоритм генетического программирования и методы его

применения для решения задачи Коши в символьном виде для обыкновенных дифференциальных уравнений

2.1. Постановка задачи и предлагаемые подходы к решению

2.2. Алгоритм генетического программирования для решения задачи Коши в символьном виде
2.3. Полученные результаты
Выводы
ГЛАВА 3. Алгоритм генетического программирования и методы его
применения для решения в символьном виде задач вариационного исчисления
3.1. Постановка задачи и предлагаемые подходы к решению
3.2. Алгоритм генетического программирования для решения краевых задач и вариационных задач
3.3. Результаты численных экспериментов
Выводы
ГЛАВА 4. Программная реализация алгоритмов генетического
программирования для решения задач Коши, краевых задач, вариационных задач
4.1. Программная система для решения задачи Коши
4.2. Программная система для решения вариационной задачи
4.3. Реализация программ для работы алгоритма ГП на 4 распределенных и кластерных вычислительных системах
4.4. Реализация алгоритма генетического программирования для 1 решения в символьном виде задачи Коши для систем обыкновенных
дифференциальных уравнений
Выводы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


По итогам работы реализованы 4 программные системы, зарегистрированные в Роспатенте, а также 2 программные реализации для кластерных ЭВМ. Результаты диссертационной работы включены в отчеты по госбюджетным НИР Б8 «Развитие теоретических основ автоматизации математического моделирования физических систем на основе экспериментальных данных», Б 1. Разработка теоретических основ решения задач автоматизации проектирования распределенных многопроцессорных вычислительных комплексов интеллектуального анализа данных в режиме реального времени» и НК-9П/ «Разработка устойчивого гибридного генетического алгоритма для определения кристаллических структур химических соединений из данных порошковой дифракции» мероприятия 1. Федеральной целевой программы «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России на - годы». Алгоритм генетического программирования решения задачи Коши для ОДУ позволяет получить на заданном множестве функций точное символьное решение, если оно существует. Гибридный метод приближенного решения задачи Коши для ОДУ позволяет получить требуемый результат при меньших затратах вычислительных ресурсов. Алгоритм генетического программирования решения краевых задач для ОДУ позволяет получить на заданном множестве функций точное символьное решение, если оно существует. Алгоритм генетического программирования для решения задач вариационного исчисления позволяет получить на заданном множестве функций символьное решение, если оно существует. Публикации по теме диссертации опубликовано работ, в том числе 2 в изданиях из перечня ВАК и 4 свидетельства о регистрации компьютерных программ в Роспатенте. Апробация работы. Результаты работы были доложены на 7 Всероссийских, 4 Международных и одной зарубежной конференциях. Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Первая глава посвящена обзору существующих методов решения ОДУ и задач вариационного исчисления. Во второй главе рассматриваются предлагаемые методы решения задач Коши для ОДУ. В третьей главе описываются подходы для решения вариационных задач. В четвертой главе приводятся программные системы реализующие разработанные алгоритмы генетического программирования для символьного решения задач Коши, краевых задач, вариационных задач. ГЛАВА 1. F(л:>y = О (1. У,. Замечание. Будем считать, что рассматриваемые величины принимают только действительные значения, а рассматриваемые функции однозначны. Таким образом, в ОДУ неизвестная функция зависит только от одного аргумента, в отличие от уравнений с частными производными. Основной задачей при решении ОДУ является нахождение функций, являющихся решениями заданного ОДУ. Конечная последовательность элементарных действий над известными функциями и интегрирований этих функций (с целью получить решение) называется сведением к квадратурам. Процесс нахождения решения называется интегрированием дифференциального уравнения []. Рассмотрим некоторые распространенные ОДУ и методы их решения. Одними из наиболее часто встречающихся уравнений являются уравнения с разделяющимися переменными. Ж*)/'). О) не обращается в ноль. Для получения решения уравнения, учитывая обозначение у - (р(х), нужно преобразовать уравнение (1. Учитывая монотонность, так как /2(у) нигде не обращается в ноль, решение уравнения (1. Замечание. Если не выполняется условие, о том что /2(у) нигде не обращается в ноль, единственность решения может нарушаться и такой случаи требует дополнительного исследования. Нужно также отметить, что функция у - ср{х) может быть не представима элементарными функциями. В таком случае решение уравнения представляется в виде, содержащем неопределенный интеграл, а на практике используются значения, полученные численным решением. Для однородных уравнений справедлива теорема существования и единственности решения: через каждую точку(*о>. Уо) из ^ проходит одно и только одно решение уравнения (1. Ь и /(и)* и всюду непрерывна на интервале (а, Ь). Для решения необходимо сделать замену у=их, тогда уравнение (1.