Развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнений от эпохи О. Коши до начала XX века

• Автор: Демидов, Сергей Сергеевич
• Шифр специальности: 07.00.10
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1988
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 292 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. итога равви теории обыкновенных

даФФЕЕЗНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

ГЛАВА 2. ПРОБЛЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ .

1. Работы Коши.

2. Развитие метода мажорант .

3. Метод КошиЛипшица

4. Метод последовательных приближений

ГЛАВА 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ В КВАДРАТУРАХ .

1. Лиувилль и уравнение Риккати

2. Новые классы интегрируемых уравнений .
3. Софус Ли и проблема интегрируемости дифференциальных уравнений в квадратурах .
4. Особые решения
ГЛАВА 4. ЛШЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Общая теория
2. Краевые задачи. Теория ШтурмаЛиувилля . .
3. Решение уравнений в виде рядов и специальные функции.И

ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕЩИЛЛЬНЫХ УРАВНЕН
1. Начало теории Коши. Работы Врио и Буке . . .
2. Б.Риман.
3. Л.Фукс
4. А.Пуанкаре
5. Нелинейные уравнения
6. Исследования русских математиков
7. Д.Пенлеве.
ГЛАВА б. КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕЩШЕШЫХ УРАВНЕНИЙ
I. Качественная теория Пуанкаре .
2. Теория устойчивости Ляпунова.
3. Дальнейшее развитие качественной теории
дифференциальных уравнений.
ГЛАВА 7. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА
1. Основные этапы исследованийI
2. Формальноаналитический период
3. Теория Лагранжа.
4. Теория Якоби
5. Теория Ли.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


В первой половине века существенное развитие получили вопросы общей теории линейных дифференциальных уравнений. В частности, был окончательно прояснен вопрос о линейной независимости решений Э. Кристоффель, , значительных успехов добились в изучении аналогии этих уравнений с алгебраическими. В работах, презде всего, английских математиков были созданы удобные символические методы решения таких уравнений, сыгравшие важную роль в становлении теории линейных операторов. Задачи математической физики привели к изучению краевых задач для линейных уравнений с коэффициентами, зависящими от параметра. Такие задачи стали объектом теории, созданной Штурмом и Лиувнллем в е годы. Фурье по собственным функциям задачи. Внимание к теории ШтурмаЛиувилля возродилось лишь в последние два десятилетия века, когда наметилось общее усиление интереса к изучению дифференциальных уравнений в действительной области. Эти исследования различного рода обобщения задачи, обоснование методов теории, в частности, построение строгой теории разложения функций в ряды по собственным функциям задачи ШтурмаЛиувилля В. Они способствовали развитию асимптотических методов теории дифференциальных уравнений, а также спектральной теории одного из источников функционального анализа. Девятнадцатый век время становления теории аналитических функций. Ведущей фигурой здесь в первой половине века был все тот же Коши. Созданием второго метода доказательства существования решения начальной задачи для уравнения первого порядка он положил начало разработке аналитической теории дифференциальных уравнений. Ее продолжали его ученики Ш. Брио и Ж. Буке, впервые начавшие систематически рассматривать дифференциальные уравнения, как определяющие функцию, и изучать свойства функций по самому уравнению. В частности, они начали систематическое изучение особых точек решений. Ряд плодотворных результатов и идей в аналитической теории уравнений содержали работы Б. Римана х годов. И хотя большинство из них увидело свет лишь после его смерти в е года и некоторые оказались к тому времени переоткрытыми, они оказали значительное влияние на дальнейшее развитие теории. После почти десятилетнего затишья в е года под влиянием К. Вейерштрасса начинается новый этап в развитии аналитической теории дифференциальных уравнений. Ведущей фигурой выступает Л. Фукс. В цикле работ, выполненных в эти годы, он строит аналитическую теорию важного класса линейных дифференциальных уравнений, все интегралы которых обладают только регулярными особыми точками. Такие уравнения получили впоследствии наименование уравнений фуксова типа. Отправляясь от этих исследований Фукса, Л. При изучении нелинейных уравнений возникали существенные трудности в связи с появлением у них в отличие от линейных подвижных особых точек. Больших успехов в изучении нелинейных уравнений первого порядка, интегралы которых имеют неподвижные точки ветвления, добился сам Фукс. Его исследования были продолжены Л. Пуанкаре и П. Пенлеве, получившим на рубеже XIX и XX вв. Успехи теории аналитических функций и основывающейся на ней аналитической теории дифференциальных уравнений привели в е года XIX века к значительному спаду интереса к теории дифференциальных уравнений в действительной области. Так, например, почти в полном забвении оказался первый метод доказательства существования решения начальной задачи, предложенный Коши в гг. Даже переоткрытие этого результата притом в значительно более общем виде в гг. Липшицем, не обратило на него должного внимания. Только в результате работ Л. Пуанкаре х годов по качественной теории уравнений вновь пробудился интерес к исследованию уравнений в действительной области. Так же как и в случае теории ШтурмаЛиувилля, появление качественной теории дифференциальных уравнений А. Пуанкаре было обусловлено в первую очередь задачами, лежащими вне области самой теории в данном случае задачами небесной механики. Из задач гидродинамики исходил Н. Е.Жуковекий, предвосхитивший отдельные идеи качественной теории А. Пуанкаре.