Исследование краевой задачи на собственные функции и собственные значения для сингулярно возмущенного релятивистского аналога уравнения Шредингера

• Автор: Васильев, Сергей Анатольевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская

Глава 1 Построение асимптотического решения краевых задач

А2т и Ве2т

1.1 Введение

1.2 Формализм построения асимптотического решения задач А2"1’1 и Вс'"'1 для случая последовательных краевых условий и 1

1.2.1 Общая схема построения асимптотики. Регулярный и пограничный ряды

1.2.2 Главные члены асимптотики

1.2.2.а Нулевое приближение

1.2.2.6 Поиск следующих приближений

1.2.3 Обоснование асимптотики

1.3 Формализм построения асимптотического решения задач

2т I 2т I
Ае ’ и Ве ’ для случая последовательных краевых условий и №
1.3.1 Общая схема построения асимптотики. Регулярный и пограничный ряды
1.3.2 Главные члены асимптотики
1.3.2.а Нулевое приближение
1.3.2.6 Поиск следующих приближений
1.4 Формализм построения асимптотического решения задач А2т’1 и В2т’1 для краевых условий общего вида
1.4.1 Общая схема построения асимптотики. Регулярный и пограничный ряды
1.4.2 Главные члены асимптотики
1.4.2.а Нулевое приближение
1.4.2.6 Поиск следующих приближений
1.5 Общее обоснование асимптотики
1.6 Нормировка асимптотических решений собственных
функций задач А2'"’1 и
1.7 Выводы по 1 главе
Глава 2 Поведение собственных функций и собственных значений
краевых задач А2т’1 и В2т’1 при неограниченном возрастании порядка уравнения 2т
2.1 Введение
2.2 Сравнение асимптотик собственных функций и
собственных значений при 2т и 2т+2
2.3 Обоснование поведения собственных функций и
собственных значений при неограниченном возрастании порядка уравнения 2т
2.4 Выводы по 2 главе
Глава 3 Построение разностной схемы на кусочно-равномерной
сетке для решения краевых задач А4'0, Ае6’0 и В*’0, В4,0
3.1 Введение
3.2 Постановка задач для численного исследования
3.3 Построение разностной схемы на кусочно-равномерной сетке
3.4 Оценка погрешности аппроксимации схемы для задач А)’° и В1’°* (Р=4,6) на сетках О, и
3.5 Теорема о сходимости решений на сетках П, и
3.6 Поиск решений с помощью метода прогонки
3.6.1 Поиск собственных значений матриц и
3.6.2 Метод прогонки для задач .4/°* и ВЕ0' (1=4,6)
3.7 Выводы по 3 главе
Глава 4 Построение асимптотических приближений и поиск
2т I 2т I
численных решении краевых задач Ае ’ и ВЕ ’ для различных потенциалов
4.1 Введение
4.2 Краевые задачи А2т’1 и В2"1’1 в случае потенциала линейного гармонического осциллятора
4.2.1 Построение асимптотического приближения
4.2.2 Поиск численных решений
4.3 Краевые задачи А2"1’1 и Ве2т’ в случае кулоновского потенциала
4.3.1 Построение асимптотических приближений
4.3.2 Поиск численных решений
4.4 Краевая задача А2т’1 в случае центробежного потенциала
4.4.1 Построение, асимптотических приближений
4.4.2 Поиск численных решений
4.5 Численный поиск энергетического спектра и волновых функций связных состояний кварка и антикварка в рамках модели кваркониев с использованием краевых задач Ве4'°'и В/’0*
4.6 Выводы по 4 главе
Заключение
Литература
Приложение
Приложение II
Приложение III
Приложение IV

Актуальность исследования.
В течение последних десятилетий внимание многих авторов привлекали краевые задачи для дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр при старшей производной. Трудность построения асимптотических разложений решений таких задач в степенной ряд по малому параметру связана с тем, что если положить значение малого параметра равным нулю, то порядок уравнений понижается и решения упрощенных таким образом уравнений не могут удовлетворить всем дополнительным краевым условиям, поставленным для исходных уравнений более высокого порядка. В связи с этой особенностью возмущения такого рода получили название сингулярных возмущений. А.Н.Тихоновым [138]-[141], А.В.Васильевой [29]-[32], В.Ф. Бутузовым [20]-[25], М.И.Вишиком, Л.А.Люстерником [33]-[35], С.А.Ломовым ^ [87], Ю.А.Коняевым [90]-[94] и многими другими были разработаны и
успешно применены методы решения для такого рода краевых задач.
При использовании разностных методов для решения сингулярно воз-мущеных краевых задач с целью достижения необходимой точности применяют специальные разностные схемы, учитывающие наличие пограничных слоев (для этих схем характерно использование очень малых шагов в области быстрого изменения решений). Существенный вклад в разработку таких схем внесли Н.С.Бахвалов [14], А.М.Ильин [64] - [75], Г.И.Шишкин [154] - [162], К.В.Емельянов [54]-[57], М.В.Алексеевский [1] и другие.
При этом численные и асимптотические методы дополняют друг друга. Например, асимптотические выражения удобно использовать в качестве нулевого приближения при численных расчетах на ЭВМ. Помимо этого, при использовании разностной схемы для численного решения дифференциальных уравнений асимптотические выражения позволяют судить о ее пригодности.
Одновременно с этим В.П.Масловым [111]-[117], А.О.Гельфондом
Глава

- «ст) П111 П^О1 («2т _ а?т) >
*1 <*2 <—<*17-1 рфС,Лр ‘
0<*р<т — 1;1<р<т?
= ^ + с + ,(?7-1)2*? + (,,_!) 5 ^ (1.2.236)
^ <7
где и определены равенствами (1.2.156а) и
(1.2.157а).
Таким образом, решения ситем (1.2.218) и (1.2.219) существуют и могут быть записаны в виде:
|2тД _ [С2"1'1]-1 К2т' (1.2.237)
|2т,2 = [с2т,2^-1й2т,2) (1.2.238)

ес2тД = П7=0 а}т-с^У {1.2.2Щ
1ФС s
ра1тР2
^-паЧ^-оГ)- (1'2'240)
где С = 0, т — 1.
Таким образом, решения /Сп,2т(РЪ Р1), /С<2,2т(Р2, Р2) будут иметь вид:
Етп-
/Сп,2т(Р1,т) = (1.2.241)
_!етр[-а^т(р1 + г)]
с=0 П^оХ(арт - а2т) ’
£<г,2т(р2,т)= (1.2.242)
ЕтС=|
_1ежр[-а?ш(р2 + т)]
с=0 Пь171(а?т - а?т) ’ 1«
После подстановки наденных решений /Сп,2т(РЪ /31), ^С<2,2ш(Р2) Рг) В (1.2.208), (1.2.209) и интегрирования мы получим частные решения