Равномерное распределение точек на поверхностях и его применение в исследованиях структурно-неоднородных сред

• Автор: Копытов, Никита Павлович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 121 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМА РАВНОМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТОЧЕК НА ПОВЕРХНОСТЯХ, СУЩЕСТВУЮЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ЕЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
1.1. Общая постановка задачи
1.2. Равномерное распределение точек на поверхности сферы
1.3. Различные подходы для равномерного распределения точек на поверхностях
1.4. Равномерное распределение точек на поверхностях
и методы Монте-Карло
1.5. Седьмая задача Стивена Смейла
1.6. Равномерное распределение точек на поверхностях в многомерных пространствах
1.7. Равномерное распределение точек на кривых
Выводы по первой главе
ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАВНОМЕРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ТОЧЕК НА ГЛАДКИХ РЕГУЛЯРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
2.1. Общее описание методологии решения задачи
2.2. Нахождение функции плотности совместного распределения координат при описании равномерного распределения точек на поверхностях, задаваемых уравнениями явного вида
2.3. Нахождение функция плотности совместного распределения параметров при описании равномерного распределения точек на поверхностях, задаваемых уравнениями параметрического вида
2.4. Генерирование случайных величин по известной функции плотности распределения методом Неймана
2.5. Описание алгоритма и программы для равномерного распределения точек на поверхностях и визуализация результатов
2.6. Процедура проверки равномерности распределений точек
2.7. Равномерное распределение точек на кривых
2.8. Равномерное распределение точек на поверхностях в многомерном евклидовом пространстве

2.9. Моделирование случайных равновероятных ориентировок твердого тела с помощью равномерного распределения точек на поверхности трехмерной гиперсферы в четырехмерном пространстве
Выводы по второй главе
ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ РАВНОМЕРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ТОЧЕК НА ПОВЕРХНОСТЯХ В ИССЛЕДОВАНИЯХ СТРУКТУРНОНЕОДНОРОДНЫХ СРЕД
3.1. Основные положения
3.2. Задача об оценке ожидаемой непокрытой части поверхности шарообразной вирусной частицы, случайным образом атакованной антителами
3.3. Моделирование оптимальной укладки коротких армирующих волокон в оболочках при конструировании волокнистых оболочечных композитов
3.4. Применение статистического численного моделирования в задачах количественного текстурного анализ
Выводы по третьей главе
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Задача равномерного распределения точек на поверхностях имеет значение для различных фундаментальных и прикладных исследований. Она является важной для таких научных направлений и групп методов, как статистическое и имитационное математическое моделирование, стохастические методы
многопараметрический оптимизации, количественный текстурный анализ, компьютерная графика, технологии армирования структурно-неоднородных сред и так далее.
Благодаря своей вариативности и большим прикладным возможностям, в настоящее время проблема вышла за рамки вспомогательной задачи и начала приобретать общетеоретическое значение. География работ, посвященных данной проблеме, представлена широко, а количество научных статей, книг и других публикаций постоянно увеличивается. Следует также отметить, что статьи, посвященные ее рассмотрению, начали появляться с середины XX века, а сегодня их количество постоянно увеличивается, охватывая все большее число различных областей научного процесса.
Из множества научных работ, посвященных проблеме равномерного распределения точек на поверхностях, могут быть выделены три основные группы: во-первых, это работы по равномерному распределению точек на поверхности сферы в трехмерном пространстве (Marsaglia G. [21], Muller М. [35], Cook J. [7], Watson G. [52, 53], Tashiro Y. [49], Moran P. [34]); во-вторых, это работы по равномерному распределению точек на поверхностях, заданных уравнениями явного вида в трехмерном пространстве (Melfi G., SchoierG. [22]); в-третьих, это работы по равномерному распределению точек на поверхностях гиперсферы и гиперэллипсоида в многомерных пространствах (Rubinstein R.Y., Kroese D.P. «Simulation and Monte Carlo Methods» [42]).

4eg-f
’ (w,v)e D;
(2.3.1)

(n,v)e D.
Здесь функции Е, (7, У7 являются коэффициентами первой квадратичной формы поверхности.
Генерируя значения параметров и, у по функции /(и, у), получим равномерное распределение точек на поверхности.
2.4. Генерирование случайных величин по известной функции
Для моделирования одномерной случайной величины по функции плотности распределения применяются различные методы [42, 105].
Например, метод взятия обратной функции удобен в тех случаях, когда можно легко аналитически получить обратную функцию к функции распределения рассматриваемой случайной величины. Однако применение данного метода усложняется в случаях распределений зависимых случайных величин.
Универсальным методом генерирования случайных величин по известным плотностям их распределения является метод Неймана (метод усечения, acceptance-rejection method), суть которого рассмотрим сначала на примере одномерной случайной величины. В этом случае алгоритм реализуется следующим образом [42, 105]:
1) Функция плотности распределения вписывается в прямоугольник;
плотности распределения методом Неймана