Кусочно-линейная аппроксимация нелинейных моделей фильтрации сигналов в дискретном и непрерывном времени, основанная на рандомизированном разбиении временного интервала

• Автор: Мисюра, Илья Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 144 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ, ИНТЕРПОЛЯЦИИ И ЭКСТРАПОЛЯЦИИ СИГНАЛА ДЛЯ МОДЕЛИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТИ. НЕПРЕРЫВНОЕ ВРЕМЯ
1.1. Уравнение Закаи и Кушнера-Стратоновича
1.2. Диффузионная модель
1.3. Линеаризация диффузионной модели
1.4. Линейные модели под управлением марковской цепи
1.5. Линейные модели с переключением в марковские моменты
1.6. Основные примеры
1.7. Метод Монте-Карло. Потраекторная реализация
1.8. Одновременное оценивание сигнала и волатильности
1.9. Итерационный метод оценки сигнала и волатильности
1.10. Задача интерполяции. Вариационная модель
1.11. Задача интерполяции. Стохастическая модель
1.12. Задача экстраполяции
Анализ результатов первой главы
ГЛАВА 2. ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ, ИНТЕРПОЛЯЦИИ И ЭКСТРАПОЛЯЦИИ СИГНАЛА ДЛЯ МОДЕЛИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТИ. ДИСКРЕТНОЕ ВРЕМЯ
2.1. Дискретные модели сигнала
2.2. Дискретная модель со случайной диагональной матрицей
2.3. Вычисление условного математического ожидания методом Монте-Карло
2.4. Дискретная модель сигнала со скачками
2.5. Нейро-сетевой предсказатель
Анализ результатов главы

ГЛАВА 3. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ,
ИНТЕРПОЛЯЦИИ И ЭКСТРАПОЛЯЦИИ СИГНАЛА ДЛЯ МОДЕЛЕЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТИ
3.1. Разработка требований к программному комплексу
3.2. Разработка информационной схемы программного комплекса
3.2.1. Инструментальные средства разработки
3.2.2. Объектно-ориентированная модель системы
3.3. Программная реализация моделей фильтрации сигнала
3.3.1. Модель стохастической волатильности
3.3.2. Дискретные модели фильтрации сигналов
Анализ результатов главы
Заключение диссертационного исследования
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность тематики исследования. Основное содержание работы посвящено разработке математических моделей временных рядов и численных методов их анализа. Основой исследования является модель стохастической волатильности. Изменчивость волатильности используется для описания возможности резкого изменения свойств траектории сигнала. Задачи, которым посвящено исследование, в основном являются классические задачами фильтрации, интерполяции и экстраполяции сигнала. В настоящее время процессы стохастической волатильности используются при моделировании различных естественных явлений, таких как диффузия потоков в пористых средах и плазме, лазерное охлаждение, молекулярные столкновения, долговременные изменения климата, движение молекул в разреженном газе, помехи в каналах связи, модели телетрафика, флуктуации доходности финансовых активов и многих других. На траекториях процессов стохастической волатильности можно обнаружить спокойные периоды, с относительно малой дисперсией и периоды турбулентности с высокой изменчивостью.
Модель стохастической волатильности впервые появилась в работах Н. Johnson and D. Shanno [1], J. Hull and A. White [2], L. Scott [3], J. Wiggins [4]. Исследования были продолжены в работах E. Stein and J. Stein [5], S. Heston [6], R. Schobel and J. Zhu [7], L. Rogers and L. Veraart [8].
Модель стохастической волатильности относится к нелинейным моделям сигналов. Задачам фильтрации, интерполяции и экстраполяции для нелинейных моделей сигналов посвящены как монографии, так и многочисленные статьи [9-16]. В основном это работы, в которых используются различные варианты диффузионных моделей. Основная проблема заключается в том, что уравнения нелинейной фильтрации, интерполяции и экстраполяции нельзя получить в замкнутом виде, за исключением условного гауссовского распределения и смеси условно-гауссовских распределений. В остальных случаях применяются сложные
Для того, чтобы процесс Ь, был больше нуля с вероятностью 1 -а,
достаточным условием является неравенство а <., где г - решение уравнения

Ф(.г) = ‘^(1 -а), где М - число узлов решетки, Ф(х) - функция распределения
стандартного нормального закона распределения.
Рассмотрим модель Орнштейна-Уленбека (1.51), для которой можно выписать явное выражение процесса волатильности:
' (1-61) Ь, = /і(2ехр(аг)-і) + |ехр(а(/-і))о'1Рї. о
Процесс (1.61) является гауссовским процессом Орштейна- Уленбека. Из (1.61) следует выражение для Ь]ик '■
Ь),ь +2д(ехр(«до-е*рМу-1)/г))+ст^
ехр(2а/г)-1 ( (1-62)

Ьо,о ~ 0 •
Далее следует использовать формулу (1.60).
1,8. Одновременное оценивание сигнала и волатильности
Альтернативой условному математическому ожиданию является оценка, полученная в результате минимизации функционала энергии шума [11]: