Качественное и численное исследование движения твердого тела в сопротивляющейся среде

• Автор: Андреев, Алексей Витальевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 83 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

1 Общая характеристика работы

1.1 Актуальность темы

1.2 Цель работ г!

1.3 Нау чпая понизив рабомя

1.4 Обоснованной [, и достоверность результатов

1.5 Общая методика исследования

1.0 Теорс! ичеекая и нрак гическая значимость

1.7 Апробация работ ы

1.8 Публикации

ГЛАВА 1. НОВЫЕ СЕМЕЙСТВА ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ В ДИНАМИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕГО СО СРЕДОЙ
1.1 Случай наличия н системе двух парсил
1.1.1 Явные и неявные чочки покоя сисклы второго порядка
1.1.2 Неявные положения равновесия гиск'мы второго порядка, соответствующие нетривиальным частным решениям
1.1.3 Расслоения фа юного пространства, его симметрии и начало
топологического анализа
1.1.4 Классификация <|>а юных портретов системы на двумерном
ни.(ипдро для некоторой области параметров
1.2 Случай наличия в системе лобового сопротивления и дополнительного демпфирования
1.2.1 Явные и неявные точки покоя систем 1,1 второго порядка
1.2.2 Неявные положения равновесия системы второго порядка, со-
ответсп'.угощие нс1 ривиальпым частным решениям
1.2.3 Расслоения ([тазового и роетрансгва. ею симметрии и начало
топологического анализа
1.2.4 Классификация фановых портретов системы па двумерном
цилиндре для некоторой области параметров
ГЛАВА 2. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
2.1 Задача о движении со следящей си. юй
2.2 Случай отсутствия лишен мост и момента сил от угловой скорости
2.2.1 Приведенная система

2.2.2 Список первых ии і (тралов
2.3 Случай лавиеимоеі и момеїтіа сил оч г. юной скорое пі
2.3.1 Введение чаииеи.мош и оч тловой < корехти и приведенная система
2.3.2 Список первых интегралов
ГЛАВА 3. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ КЛЮЧЕВОГО РЕЖИМА ДВИЖЕНИЯ
3.1 Устойчивость по линейному приближению
3/2 О рождении преде.пнюго цикла ич слабого фокуса
3.3 Движение конкретного твердого гола с конусообразной передней
напью в иоде
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИ її СПИСОК
Список испольчоввпиых иетчпиков
Список публикаций еоиска і ели

ВВЕДЕНИЕ
Задача о движении тела в сопротивляющейся среде (например, о падении тела в воздухе) интересует исследователей вот уже несколько столетий. Так опыты по исследованию движения тела в воздухе и жидкости привели X. Гюйгенса к установлению эмпирического закона сопротивления, пропорционального квадрату скорости движения тела в воздухе (1669). И. Ньютон на основе опытов создал математическую теорию сопротивления воздуха, разработку которой продолжали в XVIII в. Вариньон, Д. Бернулли, Ж. Даламбер, Л. Эйлер и др. (см. также [102, 103, 101, 106, 10G, 107, 108, 109, 111, 119]).
Л. Эйлер, в результате глубокого анализа опытного материала Б. Робинса, заменил в 1745 г. квадратичный закон сопротивления двучленным: первое слагаемое пропорционально квадрату скорости, а второе — четвертой степени скорости. В дальнейшем Л. Эйлер разработал численные методы интегрирования дифференциального уравнения движения снаряда, в частности, используя медленно сходящиеся ряды (см. также [15, 1С[).
Усилия ученых были направлены не только на нахождение траекторий снаряда, но также на возможно более полный учет дополнительных явлений, приводящих к важнейшим поправкам к основной теории. В XVIII в. Робинс заметил, что центр масс вращающегося снаряда описывает не плоскую, а пространственную кривую. Позднее, в XIX в. С. Пуассон, затем М. В. Остроградский пытались дать математическую трактовку этого явления. Было установлено, что продолговатый вращающийся снаряд имеет собственное быстрое вращение вокруг продольной оси динамической и геометрической симметрии, прецессию около вектора скорости снаряда и нутационное движение около вектора опрокидывающего момента.
Н. Е. Жуковский одним из первых решал следующие задачи динамики точки в среде, а именно: падение тел, движение тела, брошенного под углом к горизонту и т.д. Он также совершенствовал модель взаимодействия тел с сопротивляющейся средой и считал, что кинетическая энергия падающего тела тратится на образование вихревых движений воздуха и, кроме того, на преодолевание молекулярных сил прилипания воздуха к движущемуся телу. Сопротивление зависит не только от скоростей движения точек тела, но и от формы самого тела. Если скорость мала, то с достаточной точностью можно принять сопротивление пропорциональным первой степени скорости. При больших скоростях сопротивление пропорционально квадрату скорости.
Из исследований Н. Е. Жуковского известна также попытка моделирование движения на основе экспериментов по самовращению падающих в воздухе пластинок [30, 37]. Здесь приходилось учитывать такие свойства воз-

Начнем доказательство теоремы 1.2. Рассмотрим сепаратрису, выходящую из точки (—7Г/2,0) в полосу П. Фазовый поток исследуемой системы (1.1.7) отображает часть прямой A_j на прямую Ль (Здесь Л*, = {(a,w) G R2 : а = п/2 + ттк}.) Итак, рассмотрим отображение прямой A_j на Ai в силу фазовых траекторий. Для системы сравнения (**) с вращениями (см. также (117]) это отображение, по крайней мере, вблизи точки (—vr/2,0) в области G R2 : со > 0}, тождественно.
Предложение 1.6 Для системы (1.17) построенное отображение (там, где оно определено) при выполнении условия (3 < 2 таково:
(-"2’с^1) ~> (^2’^2) ’ Ul <
Продолжим доказательство теоремы 1.2. Имея в виду непрерывную зависимость отображения, построенного в предложении 1.С. от параметров /Зз,Дп рассмотрим при достаточно малых значений /3 зависимость типа фазового портрета от параметров /?з, /Д.
Предположим, что сепаратриса, выходящая из точки (—тг/2,0) в полосу П, имеет предельное множество, отстоящее от прямой Л_1 вдоль оси а на 2-пк, к G N0. Рассмотрим топографическую систему Пуанкере (ТСП), задаваемую системой (**), вокруг точки (—тт/2--2тт(к--), 1). Эта система (ТСП) ограничена особой траекторией, уходящей на бесконечность (см. также ( 118]). Уменьшим параметры /?з, /Д настолько, чтобы точка (—п/2 + 2ттк1, 1) перестала быть сс-предельным множеством для данной сепаратрисы. Так называемое "отделение" траектории — сепаратрисы — от точки (—тт/2 + 2ттк, 1) к точке ( —7г/2 + 2тт(к + 1), 1) произойдет в силу того, что угол между векторными полями системы (1.17) и системы сравнения (**) стремится к нулю при ~> о. Случай к] G N0 рассмотрен. Покажем, что при этом к2 выбирается из вышеописанного множества (см. определение индекса isp).
Заметим, что возможны три логические ситуации для к2, когда к G Nq.
Напомним, что у систем (1.17) и (**) на фазовом цилиндре существуют бесконечно удаленные предельные точки (—0,+оо), (+0, —сю), (я-+ 0, +оо), (тт — 0, —сю), причем две первые — притягивающие, а две последние — отталкивающие.
Предложение 1.7 Исследуемая сепаратриса, может, иметь в качестве сопредельного множества бесконечно удаленную точху (—7г/2 + 2тт(1 + 1/4) — 0, +оо).
Доказательсгпво предложения 1.7. Спроектируем фазовую плоскость на сферу Римана или Пуанкаре [9G], В силу гладкой зависимости исследуемой сепаратрисы от параметров /З3, /34, при том критическом значении параметра, при котором происходит перестройка грубого cj-предельного множества