Стохастические методы адаптивного управления в вычислительной математике и механике

• Автор: Арсеньев, Дмитрий Германович
• Шифр специальности: 05.13.16
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 286 с. : ил.

Оглавление
Введение

Глава 1. Стохастические вычислительные алгоритмы

как объект адаптивного управления

1.1. Основная идея

1.2. Постановка задачи адаптивного управления процессом вычислений

1.3. Синтез оптимального управления вычислительным процессом

1.4. Стратегия адаптивной оптимизации вычислительного процесса

Глава 2. Адаптивное управление статистическими методами вычисления интегралов с повышенной скоростью сходимости

2.1. Постановка задачи

2.2. Идея адаптации в статистических методах численного анализа, основанная на

принципах существенной выборки
2.3. Адаптивный алгоритм вычисления
одномерных интегралов
2.3.1. Выбор плотностей вероятностей

2.3.2. Процедура оценивания
2.3.3. Результаты численных экспериментов
2.3.4. Обсуждение результатов
2.4. Адаптивный алгоритм вычисления
одномерных интегралов (общий случай)
2.4.1. Процедура оценивания
2.4.2. Сходимость алгоритма
2.4.3. Оценивание погрешности в процессе
вычислений
2.4.4. Моделирование реализаций случайных
величин
2.4.5. Трудоемкость алгоритма
2.4.6. Результаты численных экспериментов
2.5. Адаптивный алгоритм вычисления
двумерных и многомерных интегралов
2.5.1. Описание алгоритма
2.5.2. Результаты численных экспериментов
2.5.3. Некоторые замечания
Глава 3. Адаптивное управление процедурой
полустатистического метода численного решения интегральных уравнений
3.1. Введение
3.2. Основные соотношения метода
3.3. Формулы рекуррентного обращения
3.4. Сходимость метода
3.5. Адаптивные возможности алгоритма

3.6. Качественные соображения о связи полустатистического метода
с вариационными
3.7. Применение метода для интегральных
уравнений с особенностью
3.7.1. Описание и специфика применения метода
3.7.2. Формулы рекуррентного обращения
3.7.3. Анализ погрешностей метода
3.7.4. Адаптивные возможности алгоритма
Глава 4. Проекционно-адаптивное управление процессом
численного решения интегральных уравнений
4.1. Введение
4.2. Основные соотношения метода
4.3. Формулы рекуррентного обращения
4.4. Сходимость алгоритма
4.5. Основные достоинства
4.6. Адаптивные возможности
4.7. Особенности численной реализации
4.8. Альтернативная вычислительная методика:
усреднение приближенных решений
4.9. Результаты численного моделирования
4.9.1. Тестовая задача
4.9.2. Задача о вынужденных поперечных
колебаниях закрепленной струны
управляющих воздействий;
• последовательного при каждом N получения оценок /у интеграла
• контроля точности вычислений в процессе работы алгоритма.
2.2. Идея адаптации в статистических методах численного анализа, основанная на принципах существенной выборки
Одним из серьезных недостатков классических процедур вычисления интегралов методами статистического моделирования является сравнительно низкая скорость сходимости этих методов - порядка 1/у/ГГ, где N - количество точек, в которых вычисляются интегрируемые функции. Поэтому в теории метода Монте-Карло большое внимание уделяется вопросам ускорения их сходимости на основе учета априорной информации [93]. Основными приемами такого рода ускорения являются [93]: частичное аналитическое интегрирование с выделением главной части; метод существенной выборки; методы выборки по группам; симметризация подынтегральной функции; использование взвешенных оценок и т.д.
Каждый из перечисленных способов ускорения основывается на дополнительных предположениях, сужающих класс принадлежности интегрируемой функции. Чем уже этот класс, тем эффективней может быть синтезирован соответствующий алгоритм численного интегрирования методом Монте-Карло. Оказывается [12], что если априорных данных о классе интегрируемых функций не имеется, то возможны их «реконструкция»в процессе моделирования и учет этой реконструкции в алгоритме. Такой подход к проблеме ускорения метода Монте-Карло
/ и оценок д, их дисперсий И ;