Спектральные характеристики инерционного преобразования шума и сигнала нелинейной системой

• Автор: Кричигин, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 01.04.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 107 с. : ил.

Содержание
1 Введение
1.1 Актуальность проблемы
1.2 Описание системы
1.3 Постановка задачи
1.4 Методика исследования. Научная новизна. Научная и
практическая значимость
1.5 Основные положения, выносимые на защиту
1.6 Апробация результатов
1.7 Структура и объем диссертации
2 Инерционное нелинейное преобразование белого шума
2.1 Постановка задачи
2.2 Уравнение Фоккера - Планка
2.3 Приближенный метод для определения функции
корреляции и спектра нелинейной системы
2.4 Примеры моностабильных систем, описываемых кусочно-
линейными потенциалами
3 Инерционное нелинейное преобразование аддитивной
смеси гармонического сигнала и белого шума
3.1 Постановка задачи
3.2 Преобразование шумов и сигналов линейными системами . 55 ц
3.3 Теория линейного отклика
3.4 Флуктуационно-диссипационная теорема
3.5 Выходные параметры на основе приближенного метода
3.6 Примеры моностабильных систем, описываемых кусочнолинейными потенциалами
3.7 Моностабильиая система, описываемая гладким
потенциалом
4 Заключение

1 Введение
1.1 Актуальность проблемы
Одним из важнейших направлений современной радиофизики является исследование статистических характеристик случайных процессов в нелинейных инерционных системах. В этой области активно ведутся как теоретические, так и экспериментальные исследования. Актуальность подобных исследований обусловлена важностью большого числа приложений, возникающих в многочисленных разделах науки и техники.
В качестве простого примера нелинейной инерционной системы можно рассмотреть обычный детектор, простейшие схемы которого приведены на рис. 1. Напряжение на выходе данных систем х подчиняется дифференциальным уравнениям первого порядка (см., напр., 11]), а именно, для схемы рис. 1, а:
dx х 1 _ . .
d-t--RC+CF{u~x)'
и для схемы рис. 1, б:
dx ( 1 л , . х 1 . .
здесь F (х) - нелинейная функция вольтамперной характеристики диода, и - входное напряжение. Связь между входной и и выходной х переменными является не только нелинейной, но и инерционной.
F(x) R
u(t) ifjjj Су x(t) су °x(t)
a) 6)
Рис. 1: Простейшие схемы детектора.
Представление любой сложной системы зависит от правильного учета информационного обмена между ее компонентами. Практически во всех естественных и искусственных системах информация о сигнале

смешивается с шумом. Традиционно считается, что воздействие шумов затрудняет обнаружение сигналов, так как, с точки зрения классической радиотехники, наличие флуктуаций в системе может только ухудшать ее характеристики (см., напр., [1]). Широко известны проблемы, связанные с ограничением чувствительности усилителей и конечностью ширины спектральной линии генераторов, что обусловлено воздействием естественных и технических шумов [2|, [3], [4]. В силу дискретности строения материи флуктуационные явления присущи всем реальным системам и принципиально неустранимы [5].
Более того, задача о влиянии шумов на поведение реальных электронных систем с каждым годом становится все актуальнее. Например, плотность размещения транзисторов на кристаллах микросхем в полном соответствии с законом Мура удваивается каждые 24 месяца. Одновременно с увеличением числа транзисторов снижается их напряжение питания, становясь сравнимым с уровнем шума. Таким образом, шумы оказывают все большее влияние на работу микросхем.
С другой стороны, в последние десятилетия в литературе большое внимание стало уделяться фдуктуационным явлениям в нелинейных системах, которые невозможно объяснить па основе классической теории, где шум является мало возмущающим фактором, приводящим лишь к отклонениям от среднего. Множество накопившихся экспериментальных фактов указывает на наличие достаточно большого количества неравновесных систем, где источники шума могут не только мешать работе нелинейных устройств, но и, наоборот, играть конструктивную роль, например: существенно увеличивать чувствительность систем, увеличивать упорядоченность в системах и вызывать возникновение более регулярных структур [6], [7],
подавлять внутренние шумы с помощью внешнего шумового сигнала [8], синхронизировать фазу в системах с несколькими степенями свободы [9], синхронизировать хаотические колебания [10], [11]
и хаотизировать периодические колебания [12], [13]. Шум может индуцировать некоторые режимы, которые в отсутствии флуктуаций принципиально нереализуемы. В частности, индуцированный нгумом хаос представляет собой явление, при котором шум является причиной возникновения хаотического аттрактора, когда динамически связываются два инвариантных состояния: периодический аттрактор и неустойчивое шумовое состояние (см., напр., [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21]). Изменение уровня шума может значительно

начальными условиями выражается через плотность вероятности переходов (функцию Грина) в виде интеграла (см., напр., [149]):

ИДжД) = / ¥{хо^0)¥(х0^ох,1)(1хо. (51)
*/—оо
Если же имеется источник частиц и(х, £), действующий на протяжении всего времени Ь. то решение уравнения Фоккера-Планка будет иметь смысл концентрации частиц С{х,£) и в соответствии с (46) запишется через плотность вероятности переходов (функцию Грина) в виде двойного интеграла:
С(х,£) — / [ и{х0^о)Ш(хй,Цх,1)йха(И0.
7 — оо «/—ОО
Наряду с оператором Фоккера-Планка молено ввести сопряженный ему оператор М^?р+ (см., напр., [149]), для которого справедливо соотношение:
[ и(х)М.рр(х,1)у(х)с1х = [ у(х)Шрр’(х^)и(х)с1х, (52)
7—оо
если хотя бы одна из функций и(х), у(х) обращается вместе со всеми своими производными в нуль при х = ±оо. Из (52) следует, что сопряженный оператор будет выглядеть следующим образом:
МЙЩ, () = (53)
где кинетические коэффициенты определяются согласно (39).
Соответствующее уравнение для плотности вероятности называется обратным уравнением Колмогорова и имеет следующий вид:
- Мрр+(х, г)¥{х, £) = 0. (54)
Для нахождения спектральной плотности мощности выходного
сигнала х(£) необходимо найти корреляционную функцию 2-го рода (12), при этом корреляционная функция процесса < т(£)ж(£ + г) > есть:
/ОО ТОО
/ Хох]У(хоЛ0х,1)с1х0с1х, (55)
“ОО •/—ОО
где ТИ(ж0До;жД) - двумоментная плотность вероятности процесса ж(£), которая равна произведению одномоментной плотности вероятности на плотность вероятности переходов:
Н/фсоДогМ) = W(x0,t0)W(x0,t0x,t). (56)