Фрактальные методы анализа и прогнозирования для самоорганизованных технических, биологических и экономических систем

• Автор: Антипов, Олег Игоревич
• Шифр специальности: 01.04.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 302 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Исследование пространственно-временного хаоса в дискретнонелинейных системах
1.1. Построение и анализ БД и расчет показателя Ляпунова на примере импульсного стабилизатора напряжения повышающего типа

1.1.1. Хаос в импульсной силовой электронике

1.1.2. Математическая модель повышающего импульсного стабилизатора напряжения в режиме управления по току
1.1.3. Основные принципы построения бифуркационных диаграмм применительно к дискретно-нелинейным системам

1.1.4. Вычисление показателя Ляпунова для математических моделей

1.1.5. Анализ бифуркационных диаграмм и краткое теоретическое обоснование полученных результатов

1.1.6. Перемежаемость первого рода

1.1.7. Кризисы [2]

1.1.8. Влияние внешнего шума на внешний вид БД
1.1.9. Основные итоги применения локальных хаотических мер к ИСН-
1.2. Экспериментальное исследование хаотических явлений в импульсном стабилизаторе напряжения повышающего типа
1.2.1. Динамический хаос в реальных нелинейных устройствах
1.2.2. Описание экспериментальной установки повышающего ИСН в режиме управления по току с дополнительной обратной связью по напряжению
1.2.3. Исследование устойчивой работы стабилизатора
1.2.4. Исследование хаотического режима работы стабилизатора
1.2.5. Результаты эксперимента
1.3. Детерминированный хаос в импульсном стабилизаторе напряжения повышающего типа в режиме управления по току с дополнительной обратной связью по напряжению

1.3.1. Хаос и информационная безопасность
1.3.2. Математическая модель повышающего ИСН в режиме управления по току с дополнительной обратной связью по напряжению
1.3.3. Хаос в ИСН. Влияние дополнительной обратной связи по напряжению на устойчивость системы
1.3.4. «Ползучий» хаос. Временные бифуркационные диаграммы
1.3.5. Влияние напряжения компенсации на работу ИСН
1.4. Влияние учета активных потерь на детерминированный хаос в импульсном стабилизаторе напряжения инвертирующего типа
1.4.1 Особенности моделирования импульсных стабилизаторов напряжения
1.4.2 Вывод уравнений состояния импульсного стабилизатора напряжения инвертирующего типа с учетом активных потерь
1.4.3. Построение математической модели работы ИСН-3 в режиме управления по току дросселя
1.4.4. Получение бифуркационных диаграмм ИСН-
1.4.5. Результаты построения бифуркационных диаграмм ИСН-
1.5. Исследование стохастической работы ИСН понижающего типа при учете потерь на элементах силовой части при помощи фрактальных мер
1.5.1. Исходные задачи исследования бифуркационных диаграмм ИСН-
1.5.2. Общее понятие фрактальной размерности [13]
1.5.3. Основные обобщенные фрактальные размерности и спектр Ренъи [15]
1.5.4. Основные свойства размерностей В0 и £>, [3]
1.5.5. Корреляционная размерность В1 и метод Грассбергера-Прокаччиа
1.5.6. Метод восстановления фазового пространства и вычисление корреляционной размерности. Теорема Такенса
1.5.7. Математическая модель ИСН-1 с учетом различных потерь
1.5.8. Построение модели ИСН-
1.5.9. Построение БД для ИСН-1 с учетом активных потерь

1.5.10. Сравнение бифуркационных диаграмм повышающего и инвертирующего ИСН
1.6. Применение фрактальных мер к анализу стохастической работы ИСН повышающего типа при учете потерь в элементах силовой части
1.6.1. Исходные задачи исследования бифуркационных диаграмм ИСН-
1.6.2. Математическая модель ИСН-2 с учетом различных потерь
1.6.3. Построение математической модели ИСН-2 с учетом различных потерь
1.6.4. Построение БД для ИСН-2 с учетом активных потерь
1.7. Влияние параметров составного стабилизатора, состоящего из двух понижающих конверторов, связанных по схеме ведущий-ведомый, на его стохастическую работу
1.7.1. Особенности составных стабилизаторов
1.7.2. Математическая модель связанных ИСН-1 с учетом различных потерь
1.7.3. Построение БД для связанных ИСН-1 с учетом различных потерь
1.7.4. Внешний вид странных аттракторов связанных ИСН и их фрактальные размерности
1.7.5. Результаты фрактального анализа стохастичной работы связанных ИСН
при различных значения основных параметров
1.8. Выводы по главе
Глава 2. Исследование скейлинга и мультифрактальных свойств дискретнонелинейных систем на примере ИСН-
2.1. Математическая модель ИСН-3 и ее фрактальные свойства
2.1.1. Бифуркационные диаграммы ИСН-3 с учетом активных потерь
2.1.2. Спектр фрактальных размерностей Реньи для ИСН-3 с учетом активных потерь
2.1.3. Эволюция странного аттрактора ИСН-3 с точки зрения размерностей
Реньи
2.2. Показатель массы и мультифрактальный скейлинг-спектр
2.2.1 Введение в мультифракталъные меры [5]
1.1.8. Влияние внешнего шума на внешний вид БД. Первоначальный анализ бифуркационных диаграмм совместно с показателями Ляпунова (ПЛ) от первичного параметра бифуркации вызвал некоторые сомнения. Сомнения вызвали сильные хаотические осцилляции ПЛ и существование области, в которой Я < 0, при этом сама бифуркационная диаграмма визуально находится в полосе хаоса. Ответ был также найден в [14], где было приведено количественное исследование влияния внешнего шума на каскад бифуркаций. В этой книге идет ссылка на эксперимент, в ходе которого в логистическое уравнение хп+1 =/Дхп), в соответствии с которым строилась бифуркационная диаграмма (рис. 1.10,а), было добавлено дополнительное слагаемое . Это слагаемое являлось имитацией внешнего шума, случайные
величины которого распределены по Гауссу со средним значением < >= <у7Зп п, . В
результате, по измененному логистическому уравнению хп+] = /Дх„) + £,> была получена бифуркационная диаграмма (рис. 1.10,6) и соответственно зависимость показателя Ляпунова. Таким образом, что хотя из-за наличия шума тонкая структура итераций и детали поведения Я оказываются размытыми, тем не менее имеется резкий переход к хаосу, на что указывает смена знака Я. Однако в данной ситуации напрашивается также обратный вывод: частое и быстрое чередование положительных и отрицательных значений Я, что соответствует появлению не турбулентных окон в хаотическом режиме, не есть неточность применяемых численных методов, а наоборот отсутствие внешнего шума, а следовательно чистоты численного эксперимента.
1.1.9. Основные итоги применения локальных хаотических мер к ИСН-2. Проведенный качественный анализ бифуркационных диаграмм с применением основных понятий хаотических процессов в детерминированных нелинейных системах: (перемежаемость,
кризисы, турбулентные окна и т.д.) позволил сделать некоторые рекомендации по стабилизации параметров ИСН-2 в режиме управления по току дросселя. Показано, что использование показателя Ляпунова существенно упрощает анализ устойчивости импульсного стабилизатора.
Естественно возникает вопрос, существуют ли какие-либо «реальные» эксперименты (в подтверждение численного моделирования), в которых наблюдались приведенные выше закономерности. Очевидно, что экспериментально обнаружить бифуркации высокого порядка очень трудно. Но по крайней мере четыре периода удвоения наблюдались в экспериментах [19], в которых конвекция Рэлея-Бенара изучалась для ртути в магнитном поле. В следующей главе будут представлены результаты эксперимента, проведенного автором в данном устройстве.