Симметрийный анализ некоторых уравнений теоретической физики

• Автор: Шаповалова, Ольга Владимировна
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Элиста
• Количество страниц: 120 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

Глава 1. Стационарные конфигурации идеальной плазмы

§ 1. Инвариантные стационарные конфигурации

§2. Инвариантные равновесные конфигурации

§3. Произвольная равновесная конфигурация в окрестности общей точки

§4. Потенциально - силовое магнитное поле с плоской геометрией

§5. Специальные стационарные течения

Глава 2. Симметрия безмассового уравнения Дирака

§6. Дифференциальные операторы симметрии 1-го порядка

§7. Симметрии свободного уравнения в пространстве Е

§8. Симметрия и законы сохранения
§9. Симметрия уравнений в конформных пространствах
Глава 3. Интегрирование уравнения движения свободной частицы в римановом
пространстве в комплексных координатах
§10. Обобщенные пространства штеккеля
§11. Примеры обобщенных пространств штеккеля
Заключение
Литература
Приложение

ВВЕДЕНИЕ
Известные законы сохранения и достаточно широкие классы частных решений основных уравнений физической теории представляют едва ли не основное ее достоинство. В основном такую информацию можно получить, изучая симметрию уравнений, что предполагает решение двух проблем: построение всех возможных основных уравнений данной теории, обладающих определенной симметрией, - это симметричная классификация уравнений; определение симметрии и вычисление с ее помощью законов сохранения и частных решений заданного уравнения, - это симметрийный анализ уравнения. Основными понятиями здесь являются группа (полугруппа) операторов симметрии и алгебра допустимых операторов рассматриваемого уравнения. Т.к. допустимый оператор можно рассматривать как инфинитезимальный для некоторой, вообще говоря, формальной однопараметрической группы симметрии и инфинитезимальный оператор однопараметрической группы симметрии является допустимым, то исследования симметрии в их современном виде можно назвать с большим основанием алгебраическим анализом, чем групповым.
Алгебра дифференциального уравнения с областью определения - пространством бесконечно дифференцируемых отображений некоторой области из Еп в Ет может содержать подалгебру (лиевских) квазилинейных скалярных дифференциальных не выше 1-го порядка операторов вида
аа(<р)(х) = т]а (х,ф{х))- (х,ср(х))8(ра /дх5’
Группа симметрии с лиевским инфинитезимальным оператором индуци-

рована естественным образом группой точечных преобразований пространства независимых и зависимых переменных, каждый элемент которой переводит всякое многообразие - решение рассматриваемого уравнения в многообразие -решение этого же уравнении. На этом основании такую симметрию называют геометрической; нелиевский допустимый оператор иногда называют высшей симметрией.
Теория геометрических симметрий была создана в основном во 2-ой половине 19-го века С.Ли и приобрела законченный вид в работах Овсянникова [1, 2], Ибрагимова [3], Олвера [4]. Хотя решению конкретных задач посвящено огромное число публикаций, симметрия многих важных уравнений исследована бесспорно недостаточно.
Теория высших симметрий и законов сохранения в настоящее время далека от совершенства. Здесь основополагающей является работа Нетер [5], в которой для произвольной лагранжевой системы дифференциальных уравнений построено определяющее уравнение специальной алгебры, вообще говоря, не-лиевских допустимых дифференциальных операторов и указана явная связь таких операторов с дифференциальными законами сохранения. Для произвольного дифференциального уравнения общие свойства алгебры допустимых дифференциальных операторов и дифференциальных законов сохранения рассматривалась в работах [4, 6-9]. Симметрия линейного уравнения общего вида и алгебры уравнений в банаховых пространствах изучались в [10, 11]. Наиболее продвинут симметричный анализ эволюционных (особенно гамильтоновых) уравнений; весьма полную информацию об этом содержит работа [12]. Опреде-

это система уравнений 3-го порядка на функцию а(х). Мы не рассматриваем вопрос о приведении системы (3.8) к пассивному виду при произвольном выборе функции и(х); в следующем параграфе задача решена для о(х) = х3.
Частные решения системы (3.7), именно бессиловые конфигурации магнитного поля описываются системой с ц/ = 0:
(V и, rot[Va, V и]) = 0, (Vo, rot[Va, V и]) = 0;
хотя привести эту систему к пассивному виду при произвольно заданной функции и весьма затруднительно, для некоторых конкретных функций и система легко интегрируется [42].
§4. Потенциально - силовое магнитное поле с плоской геометрией.
Поле Н назовем потенциально-силовым, если существует скаляр ц/, с которым
[H,rotH] = Vif/, divH = 0.
Таким является магнитное поле равновесной плазмы в отсутствии внешнего заданного поля; вполне вероятно и в динамических конфигурациях реализуются потенциально-силовые поля. Поэтому полезно изучение полей этого вида.
В данном параграфе магнитные поверхности о(х) = const имеют вид
х = const; уравнения (3.7) в декартовых координатах представим в виде
a%=2if/(a,x3)-2f(xl,x2); ааа - цг а ^0 {v,/u = 1,2). (4.1)
Эта система равносильна следующей
а,а,22 ~а,2а,п =/щ а,2а,\-а,аМ= f,2- (4-2)