Развитие метода пограничных функций и его приложения к задачам химической кинетики и магнитогидродинамики

• Автор: Никитин, Андрей Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 122 c. : ил

ГЛАВА I. СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С РАЗНЫМИ СТЕПЕНЯМИ МАЛОГО ПАРАМЕТРА ПРИ СТАРШИХ ПРОИЗВОДНЫХ
§1, Система двух уравнений эллиптического типа, одно из которых не содержит малого параметра при старших производных, в областях с угловыми точками границы

§2. Сингулярно возмущенная эллиптическая система

с разными степенями малого параметра при старших производных в прямоугольнике

Глава II. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ

§1. Сингулярно возмущенная эллиптическая система в

критическом случае в прямоугольнике

§2. Приложение метода к одной задаче химической

кинетики

§3. Сингулярно возмущенная линейная система уравнений магнитогидродинамики

Глава III. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С "НЕСОГЛАСОВАННЫМИ" СТЕПЕНЯМ' МАЛОГО ПАРАМЕТРА ПРИ СТАРШИХ И МЛАДШИХ ПРОИЗВОДНЫХ
§1. Асимптотика решения сингулярно возмущенной системы с параболическим угловым погранслоем
§2. Асимптотика решения сингулярно возмущенной эллиптической системы уравнений с погранслоем нового типа
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

I. Общая характеристика работы.
Наличие малого параметра при старших производных характерно для многих описываемых дифференциальными уравнениями задач физики, механики, других естественных наук. Если рассматривать члены, содержащие малый параметр, как возмущение исходной задачи, не содержащей этих членов, то возмущения такого рода называются сингулярными [1,2,3,4,35]
Теория сингулярных возмущений для уравнений в частных производных находит применение в задачах гидро- и аэро-динамики [з,35]), квантовой механики [б ] , химической кинетики [ 6 ] , теории тонких оболочек [7,8] , биологии И ЭКОЛОГИИ [4,9] , и других.Сле-дует отметить использование этой теории в вычислительной математике [ю.ПДг]
Большой теоретический и прикладной интерес представляет развитие самой теории сингулярных возмущений для уравнений в частных производных.
Среди методов этой теории следует отметить метод Вишика и Люстерника [13,14] , метод регуляризации [2] , метод сращивания асимптотических разложений [ 15,16] . Для асимптотических решений уравнений в частных производных в областях с угловыми точками границы В.Ф.Бутузовым был предложен метод угловых пограничных функций [17-21] .
Целью работы является развитие и обоснование метода пограничных функций для определенных классов сингулярно возмущенных эллиптических краевых задач в областях с угловыми точками границы и приложение метода к задачам химической кинетики и магнитогидродинамики.

Научная новизна работы состоит в том, что:
1) впервые метод угловых пограничных функций применен к ряду сингулярно возмущенных эллиптических краевых задач в областях с угловыми точками границы, а именно, к задаче для системы эллиптических уравнений с разными степенями малого параметра при старших производных, к задаче для эллиптической системы в критическом случае, к задаче для эллиптической системы с "несогласованными" степенями малого параметра при старших и младших производных ;
2) получены равномерные во всей области асимптотические приближения по малому параметру решений перечисленных краевых задач;
3) с помощью метода пограничных функций получена равномерная во всей области асимптотика решения линеаризованной задачи химической кинетики, описывающей диффузию двух веществ с учетом реакции между ними ;
4) исследована сингулярно возмущенная задача магнитогидродинамики, описывающая полностью развитое течение проводящей жидкости в прямоугольном каналес щеално проводящими стенками параллельными направлению магнитного поля при больших значениях числа Гартмана;
5) исследован новый тип углового пограничного слоя, возникающего в асимптотике решения эллиптической краевой задачи с "несогласованными" степенями малого параметра при старших и младших производных и характеризующегося тем, что угловые пограничные функции определяются из системы, состоящей из обыкновенного дифференциального уравнения и уравнения в частных производных параболического типа с постоянными коэффициентами.
Практическая ценность работы определяется большим интересом к теории сингулярных возмущений как с прикладной, так с теоретической точек зрения. Полученные в работе асимптотические прибли-

$6, §? , $ 8 определяются аналогично ^ для вершин прямоугольника Яд
Тб. Пусть функции ^ имеют непрерывные частные производные третьего порядка при 4. =1,2 ж первого порядка при I =3 в некоторой окрестности множества шт.
Обозначим через } частичную сумму второго порядка
разложения (2.4), т.е.
1/=2_ (уе) Я+2Г(0^+/Д^+д^+Р;«.)).
1=1
Теорема. При условиях 1-Ш найдутся постоянные 80 > О
и >0 такие, что при О <&^£а задача (2.1), (2.2) имеет
единственное решение Ыу(.'Х)^)0) в 8 - окрестности множества
$ и равномерно в Я) справедлива оценка
к.-VII = 0(£3/г).
Доказательство. Пусть IV — ОС- I/ . Подставляя 11= 1/+№' в (2.1) и (2.2), получим для остаточного члена краевую задачу
£2Ди/, +А„М/, +А(гИ/г+Д,3ИЛ
£ Д И4 +Аг1 Д + Агг «Д + А«КД~
д кд+А*и/, +Д5г ^ у£)
и
- о,
^2) у , з~£