Уравнения обобщенной гидродинамики в кинетической теории и распространение акустических волн в разреженном газе

• Автор: Соловчук, Максим Александрович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Калининград
• Количество страниц: 90 с. : ил.

ГЛАВА 1. Обобщенные уравнения гидродинамики в модели интеграла столкновений Гросса-Джексона
1.1 Подпространство дискретного спектра линеаризованного оператора столкновений и разрывная функция распределения

1.2 Замыкание моментной системы в случае интеграла столкновений БГК

1.3 Обобщение на случай Гросса-Джексона

1.4 Обобщенное уравнение Больцмана

ГЛАВА 2. Обобщенные уравнения гидродинамики и распространение звука в однородном газе при произвольных числах Кнудсена
2.1 Обобщенные уравнения гидродинамики и постановка задачи о распространении звука на полуоси

2.2 Дисперсионное соотношение

2.3 Сравнение с экспериментом

2.4 Релаксационные моды в модели БГК

ГЛАВА 3. Основное состояние и малые колебания одноатомного газа в гравитационном поле
3.1 Обобщенные уравнения гидродинамики и равновесное состояние газа
3.2 Метод ВКБ и локальные дисперсионные соотношения

3.3 Решение задачи генерации звука от колеблющейся
пластины
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
БЛАГОДАРНОСТИ
ЛИТЕРАТУРА

Задачи газовой динамики традиционно рассматриваются с точки зрения гидродинамических уравнений Навье-Стокса. Однако уравнения Навье-Стокса справедливы только в области малых чисел Кнудсена (отношение длины свободного пробега к характерному масштабу неоднородности задачи). Уравнения Навье-Стокса становятся неприменимы, когда длина свободного пробега становится сравнима с характерным масштабом задачи. Это может произойти или когда длина свободного пробега становится большой, или когда уменьшается характерный масштаб задачи. Особенно это актуально при рассмотрении общей теории волновых возмущений атмосферы, где длина свободного пробега изменяется с высотой по порядку величины. Соответственно, существенно меняются и числа Кнудсена (становятся очень большими). Например, в аэронавтике и космонавтике размеры аппаратов могут быть порядка длины свободного пробега. Миниатюризация, с другой стороны, приводит к появлению приборов, микроэлектромеханиче-ских систем, где характерный масштаб задачи достигает длины свободного пробега.
Одной из первых работ, в которой волновые возмущения в газах исследовались с точки зрения более общего кинетического подхода, является работа Ван Чан и Уленбека [2].
В работе Ван Чан и Уленбека [2] был указан способ построения дисперсионных соотношений для звука в газе с помощью апроксимации решения уравнения Больцмана конечным числом собственных функций линеаризованного оператора столкновений для максвелловских молекул. Наиболее последовательно эти идеи изложены в работе Фоха и Форда [3]. Пекерисом, Альтерманом, Финкелыитейном и Франковски [4] был проведен численный расчет фазовой скорости и коэффициента затухания волны с использова-

трех мод
Имеются три пары распространяющихся мод. Быстро затухающие моды имеют равную нулю фазовую скорость при г —+ оо. Их называют тепловыми модами(кривая 2 на рисунке). Следующие моды, изображаемые кривой 3, имеют практически постоянную при всех числах Кнудсена фазовую скорость С — Со/2.7 — 0.37Со- Эти моды затухают наиболее быстро, назовем их "быстро затухающими". В пределе малых чисел Кнудсена для этих мод коэффициент затухания а ~ 2г. Рассмотренные моды играют малую роль в описании экспериментов со звуком. И, наконец, звуковые моды, описываемые кривой 1. Они обладают правильной адиабатической (при г —> оо) скоростью, как предсказывают уравнения Эйлера.
Учтем роль трех мод при распространении колебаний. Линеаризованная система уравнений имеет вид (2.1).
Для удобства введем обозначение щ для линеаризованных гидродинамических величин: {щ} = {р', иТ Р'гх) д'г, д'} . Решение системы (2.1) будем искать в виде суперпозиции трех плоских волн
щ — Alexp(—iwt+iklz) + A2iexp(—iwt+ik2z)+Afexp(—iwt+гkзz), (2.11)
где к], j = 1,2,3 - вертикальные компоненты волнового вектора для различных мод.
Подставляя (2.11) в (2.1), получим систему однородных алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами: