Функциональные пространства и коэффициенты Фурье по мультипликативным системам

• Автор: Фадеев, Роман Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 139 с.

Содержание
* Введение

*Лт Глава 1. Оценки наилучших приближений и приближений углом

для простых и двойных рядов Фурье по мультипликативным

системам

і 1.1. Вспомогательные утверждения

1.2. Оценки наилучших приближений в интегральных метриках че-

.І рез коэффициенты Фурье и их разности

1.3. Оценки наилучших приближений и приближений углом в инте-
гральных метриках для двойных рядов Фурье через коэффициенты Фурье и их разности
* 1.4. Оценки обобщенно-монотонных двойных коэффициентов Фурье
^ функции через ее смешанный модуль непрерывности
Глава 2. Необходимые и достаточные условия принадлежности
обобщенным пространствам Бесова
3 2.1. Вспомогательные утверждения
^ | 2.2. Оценки наилучших приближений функций с обобщенно-монотонными и лакунарными коэффициентами Фурье
2.3. Необходимые и достаточные условия принадлежности функции
обобщенным пространствам Бесова
Глава 3. Аналоги теорем Лоренца для двойных рядов Фурье и сходимость рядов по мультипликативным системам

3.1. Вспомогательные утверждения
^ ' 3.2. Аналоги теорем Лоренца для двойных рядов Фурье по мультипликативным системам

3.3. Условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по мультипликативным системам
3.4. Условия выполнения равенства Парсеваля для рядов Фурье-Уолша
Литература

Введение
Данная работа посвящена условиям принадлежности функции (или суммы ряда по мультипликативной системе) различным функциональным пространствам в терминах коэффициентов Фурье по мультипликативной системе (или коэффициентов ряда). К этой задаче примыкает задача оценки наилучших приближений функции по мультипликативной системе в заданном пространстве.
Важнейшим примером ортонормированной системы, произведение двух элементов которой и сопряжение к элементу также принадлежит этой системе, является комплексная тригонометрическая система {emx}n€Z на периоде Т — [0,2л). Первый пример ортонормированной системы конечнозначных функций со свойством, указанным выше, принадлежит Дж. Уолшу [1]. В 1947 году Н.Я. Виленкин [2] изучил системы характеров коммутативных компактных нульмерных групп со второй аксиомой счетности. При отображении на отрезок [0,1) эти системы характеров переходят в мультипликативные системы ортонор-мированных функций, которые называются просто мультипликативными системами или системами Виленкина. Иногда их называют системами Дж. Прайса, который в работе [3] определил их в более общей ситуации. Теория рядов по мультипликативным системам, в частности, по системе Уолша, активно развивалась в СССР и позднее в РФ, Венгрии, США, КНР, Японии и в других странах. Вклад отечественных математиков в данную теорию достаточно полно отображен в монографиях Б.И.Голубова, A.B. Ефимова и В.А. Скворцова [4] и Г.Н. Агаева, Н.Я. Виленкина, Г.М. Джафарли и А.И. Рубинштейна [5]. Достижения венгерских и американских математиков изложены в монографии Ф. Шиппа, У. Уэйда и П. Шимона [6].
Теория приближений полиномами по мультипликативным системам развивалась в нескольких направлениях. С использованием понятия обобщенной производной были получены различные варианты прямых и обратных теорем

Будем рассматривать ряд

^2акХк(х).
(1.2.1)

Теорема 1.2.1 является уточнением теоремы 8 из [21].
Теорема 1.2.1. Пусть 1 < р < оо, € А1¥р. Тогда ряд (1.2.1)
является рядом Фурье функции / Є І7[0,1) и
Доказательство. Определим при ) 6 2+ и п 6 N следующие величины Aaj =

- 0,4-1, Д2^ = — 2а]+1 + ау+2 и Зп(х) = а^х^х).

Пусть Ьг’о есть множество всех таких что
Тогда АУР С Ьго- Известно, что для {а/Д^ Е Ъио справедливо представление Як — Ьк — ск,к е Н, где {са;}^!, убывают к нулю (см. [9] глава 10, §1).
По теореме 4.14 из ([5] глава 4, §6) получаем, что ряд (1.2.1) сходится при х ф О к некоторой функции /(ж). При к > п и х € [(& + I)-1, /с-1) оценим с помощью преобразования Абеля;
(1.2.2)

|/(ж) - 5п(ж)| < ^ а{ + |/(ж) - Д+і(ж)| <

<53^ + 53 |Доі| |А+і(ж) -Ок+і(х).
і=п і=А:+
На [1/тг, 1) имеем

|/(ж) - 5„(аг)| < ^2Ааі ІА+і(ж) - Аг(ж)|.