Псевдодифференциальные уравнения в Гельдеровых классах функций

• Автор: Кряквин, В.Д.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 116 c. : ил

1°. многие задачи механики и математической физики приводят к эллиптическим краевым задачам для псевдо-дифференциальных (дифференциальных) операторов.
При исследовании таких краевых задач часто возникает, с одной стороны, вопрос о гладкости решения в зависимости от гладкости данных задачи. С другой стороны, если краевая задача поставлена в неограниченной области, возникает вопрос о поведении решения на бесконечности в зависимости от поведения там данных задачи.
Наиболее удобными функциональными пространствами для исследования гладкости решения являются пространства Гельдера. Однако наиболее приспособленными к изучению псевдодифференциальных операторов являются пространства типа Соболева-Слободедкого /75 и большинство исследований для них проводилось в этих пространствах (см. [I - б] , обширную библиографию модно найти в книгах [*4, 5J).
Одна из основных проблем, препятствовавших изучению общих краевых задач в пространствах Гельдера, состояла в нахождении условий, при которых псевдодифференциальный оператор оказывался ограниченным в этих пространствах.
Первые исследования в этом направлении относятся, по-видимому, к работам Ж.Жиро (см.,напр.[б]) о сингулярных интегралах в пространствах Гельдера С * (0 < Я < I). Продолжая работы Жиро, Ж.Л.Клерк и П.Курреж [ч J , а затем М.Дюран [в] построили алгебру интегро-дифференциальГ Л

ных операторов в пространствах и на компактном много-

образии без края. В этих работах использовалось представление псевдодифференциального оператора через ядро

/I и.&)= (0.1)

Сингулярные интегральные операторы в пространствах Гельдера на компактном многообразии без края исследовали Т.Г.Гегелия ^9], А.А.Хволес /~ю]. а интегральные операторы со слабой особенностью - К.К.Головкин и В.А.Солон-ников^П^. Классические псевдодифференциальные операторы в пространствах Гельдера рассматривали С.И.Долгонос ^12] и И. Мейер [13]* Работы ^12,1з] были обобщены А.Нагелом и Е.М. Стейном I14,15]. Они нашли достаточно общие условия на символ, при которых псевдодифференциальный оператор ограничен в пространствах Гельдера'С ^ ■ В этих работах псевдодифференциальный оператор задавался через символ
/ гр Т)
А“-№)=(2ж)*))е , (0-2)
однако основным методом доказательства ограниченности этого оператора в пространствах Гельдера является переход к представлению (0.1) и использование оценок для яд-ра К№,Х-$)‘
2°. Для того, чтобы контролировать поведение функций на бесконечности, естественно рассматривать пространства функций с весом. В работах Р.Билза ^15 - 1в] были получены теоремы об ограниченности псевдодифференциальных операторов в весовых пространствах Гельдера при достаточно общих условиях на символ. Как и в предыдущих работах, он переходил к представлению псевдодифференциаль-ного оператора в форме (0.1) и использовал оценки для ядра К С.Г. Рубенович в работе [1Э] рассмаг_4-'
ривал псевдодифференциальные операторы с негладкими символами в весовых, пространствах Гельдера. В этой работе он определяет псевдодифферендиальный оператор по формуле (0.1), причем свертка определяется в смысле обобщенных функций.
Следует однако заметить, что символы рассматриваемых в этих работах псевдодифференциальных операторов по X могут расти на бесконечности не быстрее степени 1X1. Например, дифференциальный оператор
не принадлежит ни одному из рассматриваемых в этих работах классу псевдодифференциальных операторов. Кроме того, пространства Гельдера в работах Р.Билза не задаются в явном виде, а как образ фиксированного пространства Гельдера под действием псевдодифференциальных операторов из определенного класса.
3°. В работе [20] В.И.Фейгин построил исчисление псевдодифференциальных операторов с амплитудами (двойными символами), допускающими сверхстепенной рост по X на бесконечности (см. (1.1.3), (1.1.4) ). это исчисление позволяет исследовать, в частности, дифференциальные операторы с быстро растущими коэффициентами. Например, опе0 < <Г < 1 (см. (1.1.3) ). В этой же работе построено исчисление псевдодифференциальных операторов с обычными символами, имеющими рост по X на бесконечности не выше степенного.
В данной диссертации исследуются псевд одифференци-альные операторы с амплитудами (символами), допускающими
Д - -л ч-£1х>г
(0.3)
ратор (0.3) принадлежит классу

которае легко получить, учитывая лемму 2.1 и (1.2). &а_З.Г Пусть Я € = М
0 ^ Т < / Я | или ^ ^ ■> ^ ^ < 4-) <3^ Т< Я , Тогда
/ / о
А <=
Доказательство. Если № >. о » разлагая амплитуду X
по формуле Тейлора в точке ^= О по степеням £до
членов порядка ж. , получим
Ю-Ц А А^Ч' Т)1 0'
(3.49)
+3 л«с*фг)-гс(,
/*'/ = '*-

СЧ> г> ДД /Ш,

а* е 05°(у).
Заметим, что если го так же, как при доказательстве леммы 3.4 можно пока -зать, что ПДО А ~ Ор [сС] £ /, (3^^ ).
Теперь утверждение леммы для следует из (3.49) и лемм 2.3, 2.8.