Качественные свойства решений системы Навье-Стокса

• Автор: Арнольд, Максим Дмитриевич
• Шифр специальности: 25.00.10
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 58 с.

§1 Введение

§1.1 Основные результаты

§2 Исторический очерк

§2.1 Общие сведения и предварительные замечания

§2.2 Система Навье-Стокса для векторного поля скоростей

§2.3 Система Навье-Стокса для завихренности

1 Пространства Ф(а,и>). Случай сі > 3

§1 Локальная теорема существования и единственности

в пространствах Ф(а,ш)

§1.1 Формулировки теорем

§1.2 Доказательства теорем 1.3 и 1

§2 Критические пространства Ф((1 — 1, сі — 1)
2 Пространства Ф„. Двумерный случай
§1 Локальная теорема существования
для уравнения с бесконечной энергией и энстрофией
§1.1 Формулировки теорем
§1.2 Доказательства
§2 Разложение решения в ряд по степеням параметра А.
Диаграммы
§2.1 Разложение, по степеням А
§2.2 Диаграммы. Оценки коэффициентов
3 Аналитичность решения двумерного уравнения Навье-Стокса
§1 Основные результаты
§2 Доказательства

Численный счет.
§1 Описание алгоритма
§2 Результаты работы программы,
§1 Введение.
Уравнения Навье-Стокса вот уже на протяжении полувека нанимают ключевую, и должно быть наиболее заметную позицию в уравнениях гидродинамики. Проблема описания движения идеальной вязкой несжимаемой жидкости представляется тем более интересной и значимой, поскольку многие природные процессы как то разного рода атмосферные явления, волнения на море, сейсмические явления могут быть описаны с точки зрения уравнений гидродинамики. Наиболее интересным и важным является вопрос о существовании решения задачи Коши для системы Навье-Стокса, поскольку именно прекращение существования решения, как раз и отвечает таким стихийным бедствиям, как ураганы, цунами, извержения вулканов, землетрясения и т.п.
Многие исследователи по всему миру обращались к проблеме существования и единственности решения этой системы. Сравнительная доступность экспериментов, простота уравнений в модели, широкий спектр применения результатов и вместе со всем этим чрезвычайная трудность математической задачи — вот те факторы, которые делают теорию уравнений Навье-Стокса столь интересной для ученых различных отраслей физики и математики.
§1.1 Основные результаты.
В главе 1 вводятся пространства функций Ф(а,со), где а и со постоянные параметры, зависящие только о размерности <1. В этих пространствах для случая <1 > 3 доказываются локальные теоремы существования и единственности решения задачи Коши для системы уравнений (4)-(5) в отсутствие внешней силы.
Теорема. Для любого к 6 М+ найдется такое Т — Т(а, со, ф К) > 0, что для всякого начального данного г0(к) € Ф(а,со): ||го(А;)||а,и ф к на интервале [О, Т] существует решение задачи Кош и для системы Навье-Стокса. Такое решение единственно в классе функций Ф(а,ш).
Теорема. Для всякого Т е К+ найдется такая константа к - к(Т,а, со, ф, что при начальных данных ||го||п,ш ^ к на отрезке [0,Т] существует единственное в классе Ф(а, со) решение н(А, £) задачи Коши для системы Навье-Стокса с начальными данными г0(/=).
Кроме того, при критических значениях параметров а и со, а именно при а = со = (I— 1 имеет место глобальная теорема существования и единственности решения задачи Коши, если только норма || • ||П1а! начального данного достаточно мала.
Теорема. Найдется такая константа е = е(с1), что для любого Т > 0 существует единственное непрерывное отображение н(А, 1) '■ х [О, Т] —* Сл : н(А, 1) 6 Ф(<1 — 1,й — l)Уt € [О,Т, являющееся решением задачи Коши для системы Навье-Стокса при начальных данных г’о(к), принадлежащих пространству Ф(с1— 1,(1 — 1) таких, что И1,о(^)11<г-1Д-1 < е.
В главе 2 рассматривается двумерная система Навье-Стокса, написанная для вихря. Доказывается локальная теорема существования решения задачи Коши для такой системы с начальными данными, принадлежащими пространству Ф(а, о) с бесконечной энергией и энстрофией. Доказательство проводится при помощи техники, развитой в главе 1.
с 1 (
Для однонараметрического семейства начальных данных шд(А, £) = ’—, 1/2 <

а < 1 рассматривается классическая итерационная схема — последовательность {сл°(М)}> где

Пошаговое описание алгоритма.
1. Задается начальное данное в виде внутренней функции -4^-^.
1*4
2. Вычисляется такое значение р, при котором экспоненциально сходящийся ряд обеспечивает заданную точность вычислений.
3. Вычисляются значения функции hi в точках решетки grid.
4. С помощью реккурептпого вызова процедуры, вычисляются значения функций hp в точках решетки grid.
5. Вычисляется сумма ряда ^php(s, к).
§2 Результаты работы программы.
Rmin = 0.500000; Rmax = 1.500000; Spherenumber — 3; intensivity : 3 alpha = 2.100000; A = 5.000000
Iteration number: 1
Function coordinates:
Sphere radius: 0.500000
0.26740 0.01248 -0.01248
0.04643 0.11639 0.04643
-0.04901 -0.09924 -0.09924
0.13787 -0.34265 -0.13787
0.24166 0.01220 0.01220
0.05567 0.11731 -0.05567
-0.07478 -0.09984 0.09984
0.13945 -0.34114 0.13945
0.23264 -0.23264 0.01329
-0.16690 -0.16690 0.01061
-0.23783 0.23783 -0.01410
0.16900 0.16900 -0.00692
0.27979 0.00000 0.00112
0.00000 -0.35253 0.02570
0.05415 0.00000 -0.00025
0.00000 0.02570 -0.02258
0.16894 0.00453 0.00000
0.13242 0.00877 0.00000
Sphere radius: 1.000000
0.25541 0.00953 -0.00953
-0.51306 0.28380 -0.51306
0.07302 -0.10529 -0.10529
0.52020 -0.38116 -0.52020
0.03841 0.07397 0.07397
-0.42044 0.24894 0.42044
-0.15410 -0.06471 0.06471