Томографический анализ данных в задачах квантовой информатики

• Автор: Гавриченко, Александр Константинович
• Шифр специальности: 05.27.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 157 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
0.1 Квантовая теория
0.2 Протокол квантовой томографии
ГЛАВА 1. Исследование адекватности, полноты и точности протоколов квантовых измерений
1.0 Введение
1.1 Протокол квантовых измерений
1.2 Восстановление матрицы плотности методом псевдо-инверсии Мура-Пенроуза
1.3 Универсальное статистическое распределение для потерь точности и максимально возможная точность восстановления квантовых состояний
1.4 Примеры численного математического моделирования
1.5 Выводы по результатам главы
Приложение к главе 1. Математические аспекты квантовой томографии П. 1.1 Метод максимального правдоподобия и корневой подход.47 П. 1.2 Применение корневого подхода к экспериментам,
подчиняющимся пуассоновской статистике
П. 1.3 Статистические свойства корневой оценки
П. 1.4 Обобщение протокола измерений на случай смешанных
квантовых состояний
П. 1.5 Характеристики точности восстановления смешанных
квантовых состояний
П.1.6 Статистические свойства потерь точности
П.1.7 Неортогональное разложение единицы
П 1.8 Правильные и полуправильные многогранники
П 1.9 Свойства матрицы измерений
ГЛАВА 2. Применение методов квантовой томографии к анализу экспериментов с оптическими квантовыми состояниями
2.1 Описание исследуемых однокубитовых протоколов квантовой томографии
2.2 Описание экспериментальной установки
2.3 Расчёт приготавливаемого смешанного состояния
2.4 Восстановление состояния близкого к чистому состоянию

2.5 Статистический анализ результатов экспериментов
2.6 Статистическое восстановление квантовых состояний на основе
бифотонов
2.7 Выводы по результатам главы
ГЛАВА 3. Томографический метод моделирования квантовых систем
3.0 Введение
3.1 Вычислительные аспекты реализации метода
3.2 Примеры использования метода
3.3 Выводы по результатам главы
Приложение к главе 3. Моделирование квантовых систем с
использованием взаимно-дополнительных координатного и
импульсного распределений
П.3.1 Уравнение Шредингера в координатном пространстве.
Уравнение непрерывности
П.3.2 Уравнение Шредингера в импульсном представлении.... 137 П.3.3 Численное исследование уравнения баланса вероятности в
импульсном пространстве методом Монте-Карло
П.3.4. Диффузионный метод Монте-Карло моделирования
квантовых систем
П.3.5. Видоизменение корневого метода, учитывающее энергию состояния
ОБЩИЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Тенденция миниатюризации элементной базы вычислительных машин отражается в феноменологическом законе Мура, по которому степень интеграции микросхем увеличивается вдвое каждые 2 года. [1]. Данное явление приводит к возрастанию влияния квантовых эффектов на проведение алгоритмического процесса. Оказалось, что на основе квантовых законов можно построить алгоритмы совсем иного типа, чем привычные алгоритмы, на основании которых обычно проводятся вычисления [1-9]. В докладе 1959 года Р.Фейнман предсказывал, что уменьшение размеров компьютера приведёт к необходимости учёта в структуре компьютера квантования энергии, свойств спиновых систем и т.п. [10]. Для того чтобы построить квантовый компьютер, необходимо умение создавать и контролировать с высокой точностью строго определённые состояния квантовых систем. Основной методологией проверки качества построенных квантовых состояний является квантовая томография: на основе набора измерений одинаково приготовленных квантовых состояний она позволяет на основе статистических методов определить с высокой точностью само это состояние.
0.1 Квантовая теория
Ряд экспериментов с микрочастицами, проведённых в конце XIX — начале XX вв. (фотоэффект, опыты Резерфорда), привёл к необходимости построения атомной механики [11], позволяющей объяснить обнаруженные закономерности. Дальнейшее развитие квантовой теории сопровождалось усложнением математического формализма [12-13]. Чистое квантовое состояние микрочастицы формально представляется нормированным вектором в комплекснозначном гильбертовом пространстве. В частности,

На следующих двух рисунках представлены додекаэдр и икосаэдр, а также усечённый икосаэдр и дуальный к нему многогранник.
Можно видеть, что по мере роста числа проекций, максимальные потери приближаются к минимальным. В пределе бесконечного числа точек на сфере Блоха мы получаем оптимальный протокол, для которого точность восстановления не зависит от восстанавливаемого состояния вовсе.
Многокубитовые протоколы, рассматриваемые в настоящей работе, образованы проекционными квантовыми измерениями на состояния, которые являются тензорными произведениями рассматриваемых однокубитовых состояний. Если однокубитовый протокол образован многогранником с т гранями и, соответственно, имеет т строк, то соответствующий ему I-
кубитовый протокол будет иметь Ш строк.