Численные методы с контролем глобальной ошибки для решения дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1

• Автор: Куликов, Геннадий Юрьевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 315 с. : ил

Оглавление
Введение

1, Математическое моделирование и дифференциально-алгебраические уравнения

1.1. Модели, содержащие процессы с существенно различными характерными временами

1.1.1. Математические модели в биологии и медицине

1.1.2. Математические модели в электротехнике

1.1.3. Корректность представления математических моделей системами дифференциально-алгебраических уравнений

1.2. Системы дифференциально-алгебраических уравнений

1.2.1. Системы линейных дифференциально-алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами
1.2.2. Системы линейных дифференциально-алгебраических уравнений с переменными коэффициентами

1.2.3. Дифференциально-алгебраические уравнения общего вида

1.2.4. Задача Коши с алгебраической связью на фазовые переменные
2. Одношаговые численные методы
2.1. Асимптотические оценки погрешности итерационных методов
2.1.1. Метод простых итераций
2.1.2. Модифицированный метод Ньютона
2.1.3. Лемма о выпуклости
2.2. Методы Рунге-Кутты
2.2.1. Построение итеративных методов Рунге-Кутты
2.2.2. Сходимость итеративных методов Рунге-Кутты
2.2.3. Дифференциальные уравнения
2.3. Одношаговые методы общего вида
2.3.1. Построение итеративных одношаговых методов
2.3.2. Сходимость итеративных одношаговых методов
2.4. Численные примеры
2.4.1. Простые итерации
2.4.2. Ньютоновские итерации

3. Практическая реализация и эффективность итеративных методов Рунге-Кутты
3.1. Оптимизация простых итераций
3.1.1. Стандартные методы
3.1.2. Диагонально оптимальные методы
3.1.3. Эффективность диагонально оптимальных методов
3.1.4. Псевдодиагонально оптимальные методы
3.1.5. Практическая реализация
3.2. Итеративные методы Рунге-Кутты с нетривиальным предиктором .
3.2.1. Построение методов с нетривиальным предиктором
3.2.2. Численные примеры
3.2.3. Сходимость методов с нетривиальным предиктором
3.2.4. Практическая реализация
3.3. Оптимизация ньютоновских итераций
3.3.1. Способы реализации ньютоновских итераций
3.3.2. Оптимизация по времени
3.3.3. Оптимизация по памяти
3.3.4. Численные примеры
4. Автоматический контроль точности для одношаговых методов
4.1. Контроль локальной ошибки
4.1.1. Одношаговые методы с переменным шагом
4.1.2. Управление размером шага интегрирования
4.1.3. Численные примеры
4.2. Разложение глобальной ошибки
4.2.1. Дифференциально-алгебраические уравнения
4.2.2. Дифференциальные уравнения
4.3. Контроль глобальной ошибки
4.3.1. Неявное локально-глобальное управление шагом интегрирования
4.3.2. Неявные методы
4.3.3. Жесткие задачи . . »
4.3.4. Полуявное локально-глобальное управление шагом интегрирования
4.3.5. Дифференциальные уравнения
5. Одношаговые экстраполяционные методы
5.1. Неявная экстраполяция
5.1.1. Экстраполяционные методы
5.1.2. Неявные экстраполяционные методы
5.2. Квадратичная экстраполяция
5.2.1. Симметричные одношаговые методы
5.2.^. Симметричные методы Рунге-Кутты
5.2.3. Неявная квадратичная экстраполяция

5.3. Минимально неявные методы
5.4. Дифференциально-алгебраические уравнения
5.4.1. Неявная экстраполяция
5.4.2. Симметричные одношаговые методы
5.4.3. Квадратичная экстраполяция
5.4.4. Практическая реализация
6. Многошаговые численные методы
6.1. Линейные многошаговые методы
6.1.1. Построение итеративных многошаговых методов
6.1.2. Сходимость итеративных многошаговых методов
6.1.3. Нетривиальный предиктор
6.2. Численные примеры
6.2.1. Формулы дифференцирования назад
6.2.2. Методы Адамса
7. Автоматический контроль точности для многошаговых методов
7.1. Управление локальной ошибкой
7.1.1. Многошаговые методы с переменным шагом
7.1.2. Вычисление главного члена локальной ошибки
7.2. Контроль глобальной ошибки
7.2.1. Локально-глобальное управление размером шага интегрирования
7.2.2. Неявные многошаговые методы
7.2.3. Численные примеры
7.3. Многошаговые экстраполяционные методы
7.3.1. Многошаговая экстраполяция
7.3.2. Модифицированное локально-глобальное управление шагом интегрирования
Литература

Независимой переменной здесь является новая переменная т, л ж, I входят в (1.10) как параметры. В силу условия 1 у — ф{х,1) является точкой покоя системы (1.10).
2. Пусть точка покоя у — ф(х, 1) присоединенной системы асимптотически устойчива по Ляпунову при т —> оо равномерно относительно (х, £) € Б.
Корней уравнения /г(ж,у,<) — 0> удовлетворяющих условию 2, может быть несколько. Для окончательного выбора корня рассмотрим присоединенную систему (1.10) при начальных значениях параметров ж, t, т. е.
^ = к(х°,у, 0), у(0) = у°,
где у0 входит в начальные условия задачи (1.8).
3. Пусть решение у(т) задачи (1.11) существует при г > 0 и стремится к точке покоя ф(х°, 0) при г —оо.
Теорема 1.1.1. Если выполнены условия 1-3, то при достаточно малых е задача
(1.8) имеет единственное решение ж(<), у(<) и справедливы предельные равенства
1]тж(1) = ж(<) при 1 € [0,Т], (1.12а)
Пту(1) = у(1) при 1 € (0,Т]. (1.126)

Таким образом, при выполнении условий 1-3 теорема Тихонова гарантирует близость решений задач (1.8), (1.9) при достаточно малых е на всем отрезке [О, Т], за исключением некоторой окрестности точки 0. Эта окрестность называется пограничным слоем.
В основе явления пограничного слоя лежит тот факт, что при решении задачи
(1.8) используются начальные условия ж(0) = х°, у(0) = у0, а при решении (1.9) достаточно первого условия. Так что вполне реальна ситуация, когда у(0) = у0 ф у(0). Однако в приведенных выше моделях указанный эффект невозможен, так как предполагается, что начальные данные согласованы с алгебраической частью задачи, т. е. у0 = /(ж0, у0,0) (или, что тоже самое к(х°,у°, 0) = 0). Тем самым решения задач (1.8), (1.9) будут близки при любом 4 € [О, Т].
Итак, при выполнении условий 1-3 задача (1.8) является регулярно возмущенной и, следовательно, применение задачи (1.9) для описания естественно-научных явлений, содержащих процессы с существенно различными характерными временами, правомерно.
В заключение заметим, что упомянутая во введении третья группа методов для дифференциально-алгебраических систем (см. с. 7) базируется именно на теореме 1.1.1, так как положенная в ее основу техника предполагает, что предельные переходы (1.12) должны выполняться и для дискретных аппроксимаций задач (1.8) и (1.9). *
(1.11)