Исследование краевых задач на собственные функции и собственные значения для сингулярно возмущенного релятивистского аналога уравнения Шредингера

• Автор: Васильев, Сергей Анатольевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 255 с.

Оглавление
Введение

Глава 1 Построение асимптотического решения краевых задач

А2" и В2т

1.1 Введение

1.2 Формализм построения асимптотического решения задач А?1"’1 и В/т'1 для случая последовательных краевых условий и

1.2.1 Общая схема построения асимптотики. Регулярный и пограничный ряды

1.2.2 Главные члены асимптотики

1.2.2.а Нулевое приближение

1.2.2.6 Поиск следующих приближений

1.2.3 Обоснование асимптотики

1.3 Формализм построения асимптотического решения задач Ает’‘ и В2т,‘ для случая последовательных краевых условий и 1*0
1.3.1 Общая схема построения асимптотики. Регулярный и пограничный ряды
1.3.2 Главные члены асимптотики
1.3.2.а Нулевое приближение
1.3.2.6 Поиск следующих приближений
1.4 Формализм построения асимптотического решения задач АЕ2т’' и Ве2т’' для краевых условий общего вида
1.4.1 Общая схема построения асимптотики. Регулярный и пограничный ряды
1.4.2 Главные члены асимптотики
1.4.2.а Нулевое приближение
1.4.2.6 Поиск следующих приближений
1.5 Общее обоснование асимптотики
1.6 Нормировка асимптотических решений собственных
функций задач Ае2т'1 и B/м’,
1.7 Выводы по 1 главе
Глава 2 Поведение собственных функций и собственных значений
краевых задач А2"’1 и В2т’1 при неограниченном возрастании порядка уравнения 2т
2.1 Введение
2.2 Сравнение асимптотик собственных функций и
собственных значений при 2т и 2т+2
2.3 Обоснование поведения собственных функций и
собственных значений при неограниченном возрастании порядка уравнения 2т
2.4 Выводы по 2 главе
Глава 3 Построение разностной схемы на кусочно-равномерной
сетке для решения краевых задач А*’°, АЕ'° и В*’°, В*’0
3.1 Введение
3.2 Постановка задач для численного исследования
3.3 Построение разностной схемы на кусочно-равномерной сетке
3.4 Оценка погрешности аппроксимации схемы для задач АЕ°" и ВЕ°* (*=4,6) на сетках О, и П2
3.5 Теорема о сходимости решений на сетках О, и п2
3.6 Поиск решений с помощью метода прогонки
3.6.1 Поиск собственных значений матриц УУ4 и И/б
3.6.2 Метод прогонки для задач АЕ°* и ВЕ0’ (1=4,6)
3.7 Выводы по 3 главе
Глава 4 Построение асимптотических приближений и поиск
численных решений краевых задач А2"’1 и ВЕт’1 для различных потенциалов
4.1 Введение
4.2 Краевые задачи Л/m’, и В2т! в случае потенциала линейного гармонического осциллятора
4.2.1 Построение асимптотического приближения
4.2.2 Поиск численных решений
4.3 Краевые задачи Лв2т’1 и В2т’ в случае кулоновского потенциала
4.3.1 Построение асимптотических приближений
4.3.2 Поиск численных решений
4.4 Краевая задача А2"’1 в случае центробежного потенциала
4.4.1 Построение асимптотических приближений
4.4.2 Поиск численных решений
4.5 Численный поиск энергетического спектра и волновых функций связных состояний кварка и антикварка в рамках модели кваркониев с использованием краевых задач Б/'в'н*
4.6 Выводы по 4 главе
Заключение
Литература
Приложение
Приложение II
Приложение III
Приложение IV

Введение
Актуальность исследования.
В течение последних десятилетий внимание многих авторов привлекали краевые задачи для дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр при старшей производной. Трудность построения асимптотических разложений решений таких задач в степенной ряд по малому параметру связана с тем, что если положить значение малого параметра равным нулю, то порядок уравнений понижается и решения упрощенных таким образом уравнений не могут удовлетворить всем дополнительным краевым условиям, поставленным для исходных уравнений более высокого порядка. В связи с этой особенностью возмущения такого рода получили название сингулярных возмущений. А.Н.Тихоновым [138]-[141], А.Б.Васильевой [29]-[32], В.Ф. Бутузовым [20]-[25], М.И.Вишиком, Л.А.Люстерником [33]-[35], С.А.Ломовым [87], Ю.А.Коняевым [90]-[94] и многими другими были разработаны и успешно применены методы решения для такого рода краевых задач.
При использовании разностных методов для решения сингулярно воз-мущеных краевых задач с целью достижения необходимой точности применяют специальные разностные схемы, учитывающие наличие пограничных слоев (для этих схем характерно использование очень малых шагов в области быстрого изменения решений). Существенный вклад в разработку таких схем внесли Н.С.Бахвалов [14], А.М.Ильин [64] - [75], Г.И.Шишкин [154] - [162], К.В.Емельянов [54]-[57], М.В.Алексеевский [1] и другие.
При этом численные и асимптотические методы дополняют друг друга. Например, асимптотические выражения удобно использовать в качестве нулевого приближения при численных расчетах на ЭВМ. Помимо этого, при использовании разностной схемы для численного решения дифференциальных уравнений асимптотические выражения позволяют судить о ее пригодности.
Одновременно с этим В.П.Масловым [111]-[117], А.О.Гельфондом
Глава

при є — 0 и фиксированном г.
1.2.2.а. Нулевое приближение.
Для нахождения членов разложения $2т,0, П2т,0, Я2т,0‘Ф И А2т,0 ДЛЯ А2™’® получим систему такого вида:
[1/2 - А2т,о]$2т,0 = 0) (1.2.92)
ЬІй2т,оФ = 0, (1.2.93)
= 0, (1.2.94)
г(2гп,о(0) + П2то,0(0)) = 0, г = 0,1,2
£г(2т,о(го) + С}2т,0'Ф{го)) = 0, І = 0, 1, 2, . , Ш - 1, (1.2.96)
П2т,о'0(рі) 0) Я2т,0'Ф{р2) ~> 0, Є -> 0, (1.2.97)
а для нахождения членов разложения ?/>2т,0) П2т)о> и Агт.о задачи Вт,° получим систему такого вида:
[Ь - А2т,о]2ш,0 = 0, (1.2.98)
1[П2т,0] = 0, (1.2.99)
£>г(2т,о(0) + ЩтдЖ0)) = 0, г = 0,1,2
£)1'02т!о(+оо) = 0, г = 0,1,2
П2т,0(/Зі) —> 0, є —> 0, (1.2.102)

1« = -£>2+ «(»), (1.2.103)
г0Д _ 2(—1)р <Р?
'р=1 (2р)П <1рр)
« = (1А1М>
,0,2 _ ут 2(-1)Р &
Ьт ~ Ер=1 (2р)!! (1.2.105)
Как известно [33], собственные функции [ф2т,0,=0 и собственные
значения [А2т,0)7]“1 в нулевом приближении совпадают с собственными