Приложение теории двойственности к моделям потокораспределения

• Автор: Епифанов, Сергей Петрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 97 с. : ил.

Глава 1. Модели и методы решения задач потокораспределения

Краткий обзор истории создания и развития теории и методов решения задачи потокораспределения

1.2. Терминология и основные понятия в ТГЦ

1.3. Модель потокораспределения в виде «контурной» системы

1.4. Метод контурных расходов

1.5. Метод узловых давлений

1.6. Симметрия методов контурных расходов и узловых давлений

1.7. Формы модели потокораспределения в виде оптимизационных задач

Глава 2. Представление модели потокораспределения в виде задач оптимизации

2.1. Класс функций, обеспечивающий существование и единственность решения задач потокораспределения

2.2. Взаимно двойственные задачи оптимизации и эквивалентная им система уравнений

2.3. Самосопряженная задача оптимизации
2.4. Связь исходной и двойственной задач оптимизации с методами контурных расходов и узловых давлений
2.5. Модификации системы уравнений
2.6. Задачи безусловной оптимизации
2.7. Задачи потокораспределения со смешанными исходными данными

Глава 3. Метод решения задач потокораспределения в форме системы
уравнений
3.1. Метод квазиквадратичной аппроксимации для отыскания решений системы нелинейных уравнений
3.2. Применение метода квазиквадратичной аппроксимации
для решения задач потокораспределения
3.3. Анализ свойств решения задачи потокораспределения
3.4. Определение ортогональных составляющих вектора расходов задачи потокораспределения
3.5. Проекция решения задачи потокораспределения х~в
Заключение
Литература

Актуальность проблемы
Многие природные, технические и социально-экономические процессы описываются оптимизационными моделями на поиск экстремума некоторой целевой функции при ограничениях в виде равенств, неравенств и включений на переменные. Существует даже точка зрения, восходящая к П. Ферма и Л. Эйлеру, что все физические процессы могут быть описаны экстремальными моделями. Особенно интенсивное развитие теории и методов оптимизации началось после создания ЭВМ во второй половине XX века, в том числе в работах крупных российских математиков (H.H. Моисеева [47], И.И. Еремина [23, 24], Ф.П. Васильева [7], В.А. Булавского [5], Б.Т. Поляка [51], Д.Б. Юдина [68], В.П. Булатова [6], Ю.Г. Евтушенко [19] и др.).
Важной составляющей исследований в области оптимизации является теория двойственности. Для широкого класса задач оптимизации, в том числе выпуклого программирования, применяются специальные конструкции - двойственные задачи оптимизации. Они используются для доказательства оптимальности полученного решения, для анализа его устойчивости к варьированию исходных данных, при физической или экономической интерпретации задач, для теоретического обоснования и разработки новых алгоритмов решения задач математического программирования.
Начало формирования теории двойственности для задач оптимизации с ограничениями-равенствами восходит к Ж.Л. Лагранжу. Важным этапом было создание теории двойственности для задач линейного программирования Л.В. Канторовичем [32], Дж.фон Нейманом [73], Дж. Данцигом [12] и затем для задач нелинейного программирования Г.В. Куном, А.У. Таккером [38], Е.Г. Голынтей-

L2 ((у, и), м) = Ф(у) - (b, и) + О, А'и-у + с),
и условие оптимальности
ЧуЬ2(у,и,/л) = ЧФ(у)-/1 = О,
VuL2(y,u,ju) = -b + A/u = 0.
Полагая УФ(у) = х, Д = х, получаем, что векторы х,и,у составляют решение системы уравнений (2.17)—(2.19).
Решение исходной задачи отсутствует в том и только в случае, если допустимое множество этой задачи пусто. Тогда и только тогда система уравнений (2.17)—(2.19) несовместна. В этом и только в этом случае, согласно альтернативе Фредгольма, найдется вектор v такой, что выполняются соотношения (2.20).
Для любого и, из (2.16) однозначно определяется вектору, т.е. допустимое множество двойственной задачи не пусто. Тогда векторы у,и +av составляют допустимое решение двойственной задачи для любого а> 0. Значение скалярного произведения (b,u + av) неограниченно возрастает при «-»+ со, а целевая функция (2.15), соответственно, неограниченно убывает на допустимом множестве двойственной задачи. Следовательно, в том и только в том случае, когда допустимое множество исходной задачи пусто, задачи (2.13), (2.14) и (2.15), (2.16), (2.17)—(2.19) не имеют решения.
Пусть rank А < т. Тогда, если решение уравнения
А1 и = —с — у, существует, то оно не единственно.
Умножая векторы в правой и левой частях равенства у = с + А‘ и на вектор х, получим
(х,у) = (х, с) + (х, А Тй) = (х, с) + (Ах, Ай) = (х,с) + (Ь,й), и приходим к (2.21). □