Динамика уравнений первого порядка с большим запаздыванием

• Автор: Кащенко, Илья Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 110 с. : ил.

1. Локальная динамика уравнений с запаздыванием
§1. Общие сведения
§2. Локальная динамика уравнения с большим запаздыванием
§3. Локальная динамика уравнения с двумя запаздываниями
§4. Динамика уравнения с двумя большими „близкими“ друг другу
запаздываниями
§5. Динамика уравнения с двумя большими пропорциональными
запаздываниями
§6. Динамика уравнения с большим и очень большим запаздыванием
§7. Динамика системы с линейно распределенным запаздыванием
§8. Нормализация в системе с периодически распределенным запаздыванием
§9. Заключение
2. Динамика уравнения Стюарта-Ландау
§1. Локальная динамика в окрестности нулевого состояния равновесия
§2. Уравнение Стюарта-Ландау с отклонением пространственной переменной
§3. Нелокальный анализ уравнения Стюарта-Ландау
Заключение
А. Нелокальный метод построения асимптотики решений уравнений с запаздыванием
Б. Асимптотика решений сингулярно возмущенных уравнений с малым запаздыванием
Литература

В настоящее время одним из наиболее активно развивающихся направлений математического анализа являются исследования динамики систем с распределенными параметрами. Эти исследования стимулируются появлением большого числа прикладных задач, для моделирования которых используют такие объекты, как дифференциальные уравнения с запаздыванием. Уравнения такого типа возникают, например, в лазерной оптике [8, 31, 33, 34, 35], электротехнике, радиофизике [9, 23], медицине [26], математической экологии [6, 7], теории нейронных систем [2, 21], при описании процесса резания металлов [22, 29], в системах управления [39] и др.
Изучению уравнений с запаздыванием посвящено значительное и бурно увеличивающееся число публикаций как теоретического, так и прикладного характера. Для многих уравнений, содержащих запаздывание, хорошо зарекомендовали себя классические асимптотические методы, такие как методы усреднения Крылова-Боголюбова, методы пограничных функций в случае сингулярных возмущений [4].
Тем не менее, развитие аналитических методов для систем с запаздыванием явно недостаточно. В силу принципиальной сложности систем с бесконечномерным фазовым пространством особую значимость как для общетеоретических вопросов, так и для решения конкретных прикладных задач приобретает разработка новых асимптотических методов исследования динамических свойств решений.
В работе исследуется динамика уравнений первого порядка с запаздыванием одного из следующих видов
х + х = f(x,x(t-T)), (1)
х + х = f{x,x{t-T),x{t-Ti)) (Ti < Г), (2)

х + х = f( J x(t + s)dr(s)). (3)
Фазовым пространством таких уравнений удобно считать пространство Q-^o] непрерывных на [-Т, 0] функций со стандартной нормой. В этом смысле эти уравнения существенно сложнее обыкновенного скалярного дифференциального уравнения
х + х = /(ж), (4)
в которое оно переходит при Т = 0. Обыкновенное дифференциальное уравнение (4), как известно, интегрируется в квадратурах. Его решения стремятся либо к состоянию равновесия, т.е. к решению уравнения х = f(x), либо неограниченно растут по модулю при t оо. Решения уравнения (1) тоже вычислить достаточно просто. Так, положив в качестве начального условия функцию ip(s) G Сд-т.о] (т.е. x(s) = х + а: = f(tp(t-T)), t G [О,Г], из которого получаем, что при t G [О, T]

x(t) = tp(0)e_t + J - T)) ds.
Теперь, зная решение х(Ь) при 4 6 [О, Т], мы аналогично можем получить формулу для х(Ь) при t Е [Т, 2Т] и т.д.

Замечено, что даже незначительное увеличение времени запаздывания приводит к кардинальным изменениям в динамике системы. Поэтому вопрос о динамике уравнений с большим запаздыванием является очень важным. С другой стороны, как показывают численные расчеты для ряда уравнений (например, для уравнения Хатчинсона), все эффекты большого запаздывания можно наблюдать уже при небольших его значениях. Поэтому особую важность имеет исследование динамики уравнений вида (1)—(2) при условии, что запаздывание является достаточно большим.
Уравнение Стюарта-Ландау
г = (а + Ъг2)г + сг^ - Т)
является типичным представителем систем с запаздыванием. Кроме того, оно часто встречается в реальных задачах физики, техники, биологии, медицины. В предлагаемой работе предпринята попытка описать динамику уравнения Стюарта-Ландау с использованием разработанных методов. Также, развитые в диссертации алгоритмы позволяют провести локальный анализ динамики уравнения Стюарта-Ландау с отклонением пространственной переменной и малой диффузией (0 < е <С 1):

дх [ сР х
— = (а + Ьг2)г + с х + б) вг(з) + е2^2 —, х) = х + 1).

Перейдем к изложению содержания диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и двух приложений.
Первая Глава IIосвящена локальному анализу уравнений вида (1)—(3) в окрестности состояния равновесия. Наибольший интерес в этой части представляет изучение поведения решений этих уравнений при условии, когда запаздывание Т достаточно велико. Для всех изученных уравнений в критических случаях строятся нормализованные формы.
Во второй главе описывается применение разработанных методов и алгоритмов для изучения динамики уравнения Стюарта-Ландау.
В приложении А описывается нелокальный метод построения асимптотики решений специального вида у уравнений с большим запаздыванием на примере комплексного уравнения Стюарта-Ландау. Приводятся аналитические рассуждения и некоторые численные результаты.
В приложении Б приводится расширение метода пограничных функций построения асимптотики [4] на случай сингулярно возмущенных уравнений с запаздыванием.
По теме диссертации автором опубликовано 10 работ: 5 статей [11, 12, 13, 14, 15], 4 тезиса докладов и одно учебное пособие [10]. Из работ, выполненных совместно, в диссертацию включены результаты, полученные автором.

то нормализованная форма исходного уравнения (6.22) представляет собой однопараметрическое семейство краевых задач с запаздыванием следующего вида:
ди 1 д2и , , _ „ „ . . ,
дт = 2 + а1П + ^ ~
и(т,г) = ц(т, г -I ).

Здесь и > 0 — произвольное число, а вг = ^(е,^) е [0,27т) дополняет до целого кратного 2п значение некоторого выражения, явный вид которого существенно зависит от р и д. Аналогично, если
а = -1 - ера1,
то в качестве нормализованной формы получим систему вида г)и 1 Гр1'!!
д^ = 2д^ + а1и + Ьои{т ~ С£Р~Я>Г + д1) + (/2 + /з)и3>
и{т, г) = -и(т,г + -), зависящую от непрерывного положительно параметра и.
§7. Динамика системы с линейно распределенным запаздыванием
7.1. В предыдущих параграфах изучалась динамика уравнений с одним или двумя запаздываниями. Логичным обобщением таких случаев является случай, когда в уравнение входят значения неизвестной функции, не в отдельных точках, а на некотором промежутке. Общий вид уравнений такого типа

Такие уравнения называются уравнениями с распределенным запаздыванием.
В этом параграфе изучается вопрос о поведении в окрестности нуля решений интегро-дифференциального уравнения с линейно распределенным запаздыванием

х + х = J (а + b^j x(t + s)ds + f(x) (7.1)
в предположении, что
Т» 1. (7.2)
Функция /, как обычно, имеет в нуле порядок малости выше первого. Поэтому в окрестности нуля мы представим ее в виде
f{x) = f2x2 + f3x3 +
При условии (7.2) удобно произвести замену времени t —* VT и замену x(tT) —» x(t). В итоге приходим к уравнению

е2х + ех = J(a + bs)x(t + s)ds + £f(x), (7.3)