Резонансные свойства детерминированных математических моделей и устойчивость функционирования технических систем с гистерезисными нелинейностями

• Автор: Толоконников, Павел Вячеславович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 115 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1 Постановка задачи и краткий обзор способов ее решения

1.1 Постановка задачи для систем дифференциальных уравнений

1.2 Обзор работ на тему гармонического и параметрического резонанса

1.3 Гистерезисные преобразователи

1.3.1 Обобщенный люфт

1.3.2 Неидеальное реле

1.3.3 Преобразователь Прейсаха

1.3.4 Преобразователь Ишлинского

1.4 Диссипативность
1.4.1 Свободные колебания диссипативных систем
1.4.2. Диссипативные системы с конечным числом степеней свободы
1.5 Понятие резонанса
1.5.1 Г армонический резонанс
1.5.2 Параметрический резонанс
Глава 2 Диссипативность систем дифференциальных уравнений с гисте-резисными нелинейностями
2.1 Определение диссипативности систем и устойчивости систем по Лагранжу
2.2 О диссипативности одного класса систем с гистерезисными нелинейностями
2.3 О диссипативности одного класса систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями
Глава 3 Исследование резонансных свойств уравнения Матье, содержащих гистерезисные нелинейности
3.1 Физические (механические и электрические) процессы, приводящие к уравнениям, в которых возможен параметрический резонанс
3.1.1 Механические процессы, приводящие к уравнениям, в которых возможен параметрический резонанс
3.1.2 Электрические процессы, приводящие к уравнениям, в которых возможен параметрический резонанс
3.2 Анализ классического уравнения Матье и его возможные обобщения
3.2.1 Гармоническое параметрическое возбуждение. Области неустойчивости уравнения Матье
3.2.2 Определение областей неустойчивости уравнения* Матье — Хилла в общем случае
3.2.3 Влияние диссипации на устойчивость параметрически возбуждаемых систем
3.3 Постановка задачи для уравнений типа Матье с гистерезисными нелинейностями
3.4 Численная реализация решения уравнения Матье с гистерезисными нелинейностями, блок-схема, результаты
Заключение
Список литературы
Приложения
Приложение 1. Simulink модель построения решений трех типов уравнений: классического уравнения Матье; (3.4.1); (3.4.2). Программа построения решений уравнений Матье с гистерезисными нелинейностями вида (3.4.1). Программа построения решений уравнений Матье с гистерезисными нелинейностями вида (3.4.2)
Приложение 2. Программа построения областей устойчивости (неустойчивости) уравнений Матье с гистерезисными нелинейностями вида (3.4.2)

Введение
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Многие модели процессов и систем прикладных задач физики, теории автоматического регулирования, экономики, биологии и т.д. сводятся к системам дифференциальных уравнений, содержащим помимо обычных функциональных нелинейностей - нелинейности гистерезисной природы (колебания ферромагнитного шарика в магнитном поле; электромагнитные колебания в контуре, содержащем сегнетоэлектрические конденсаторы; экономические циклы в условиях «гистерезисного» поведения экономических агентов, системы автоматического регулирования, обратная связь которых включает гистерезисные звенья). Одним из аспектов исследования этих моделей является изучение их резонансных свойств. В частности, важную практическую роль играет диссипативность систем - наличие области в фазовом пространстве систем, обладающей тем свойством, что всякое решение, исходящее из нее остается ограниченным при неограниченном возрастании времени. Особую важность приобретает эта задача в ситуации, когда система находится под периодическим воздействием резонансной частоты. Вопросу изучения резонансных свойств систем дифференциальных уравнений в условиях, когда правая часть периодична, посвящено достаточно много работ (С.П. Кузнецов, И.Д. Папалески, В.В. Болотин, Н.В. Жинжер, М.А. Красносельский, А.В. Покровский, Д.И. Рачинский и многие другие). Диссипативность моделей в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений посвящены работы A.A.. Андронова, Л. Чезари, P.A. Нелепина, С.П. Кузнецова, И.Д. Папалески, В.В. Болотина, А.М. Красносельского, A.B. Покровского, М.Е. Семенова и ряда других ученых.
В последнее время существенно возрос интерес к системам, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями со сложными нелинейностями, в том числе и гистерезисной природы. Это обуславливается необходимостью как можно более полного и адекватного моделирования реальных физических, экономических, биологических и других систем.
Однако, к настоящему времени отсутствуют эффективные методы анализа моделей систем с гистерезисными нелинейностями, с периодической правой

и силы, пропорциональные обобщенным координатам (позиционные),

(1.4.3)
Представим матрицы Я и С в виде сумм симметричных и антисимметричных матриц: В = В, + В2; С = С, + С2. Вновь введенные матрицы удовлетворяют соотношениям Я,г = Я,; В[ = -Я,; С,г = С,; С2 = -С2, а их элементы
Обобщенные силы, соответствующие матрицам Я, и Д, называют соответственно диссипативными и гироскопическими. Если матрица Я, — положительно определенная, то мощность диссипации при любых движениях будет величиной положительной. В этом случае диссипативные силы обладают полной диссипацией. Если матрица Я, положительно полуопределенная, то говорят о неполной диссипации', если матрица Я, отрицательно определенная, то любое движение будет сопровождаться отрицательной диссипацией, т. е. амплитуды будут возрастать. Соответствующие силы будем называть силами с отрицательной диссипацией или ускоряющими силами. Этот термин будем применять и для сил (1.4.2) со знакопеременной матрицей коэффициентов, т. е. со знакопеременной квадратичной- формой мощности диссипации. Мощность гироскопических сил на любых действительных перемещениях равна нулю; в этом смысле гироскопические силы являются консервативными.
Приведенная классификация основана на формальных свойствах коэффициентов дифференциальных уравнений движения (1.4.1). Одни и те же силы могут вносить вклад в различные группы членов уравнений движения. Например, силы, зависящие от положения, могут иметь несимметричную (не обязательно антисимметричную) матрицу коэффициентов, а разложение матрицы коэффициентов на симметричную и антисимметричную составляющие может не допускать физической интерпретации. В этом случае термин неконсерватив-
СЛ = 2 (с* +Э,); с® = 2 (су* - %);
(1.4.4)