Линейный анализ распространения пульсовых волн в сердечно-сосудистой системе

• Автор: Соснин, Николай Васильевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 313 с. : ил.

Оглавление
Введение

Глава 1 Основы математической модели сердечно-сосудистой системы.

1.1 Формальное описание системы кровообращения

1.2 Математические модели основных элементов графа сердечнососудистой системы.

1.2.1 Вывод квазиодномерных по пространству уравнений гемодинамики

1.2.2 Характеристическая форма уравнений гемодинамики

1.2.3 Граничные условия и условия сопряжения

1.3 Построение линейных аналогов математических моделей элементов сердечно-сосудистой системы.

1.3.1 Вывод линеаризованных гемодинамических уравнений (ЛГД уравнений)

1.3.2 Линейный аналог условий сопряжения и краевых условий
Глава 2 Линейный анализ уравнений гемодинамики на одном ребре и в
отдельной вершине графа.
2.1 Решение задачи Коши для двух линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа с постоянными коэффициентами.
2.1.1 Постановка задачи
2.1.2 Преобразование системы к уравнению второго порядка
2.1.3 Каноническая форма записи уравнений
2.1.4 Интегральное тождество
2.1.5 Построение решения задачи Коши
2.2 Задача Коши для ЛГД уравнений
2.3 Смешанная задача для ЛГД уравнений в вершине графа.
2.3.1 Математическая постановка задачи
2.3.2 Решение задачи. Коэффициенты отражения и прохождения

2.3.3 Некоторые общие свойства коэффициентов отражения и прохождения
2.3.4 Коэффициенты для вершины фильтрации
2.3.5 Коэффициенты для вершины ветвления сосудов
2.4 Краевая задача для ЛГД уравнений на одном ребре графа.
2.4.1 Постановка краевой задачи
2.4.2 Решение краевой задачи методом продолжений
2.4.3 Качественный анализ свойств решения краевой задачи
2.4.4 Числовые значения коэффициента усиления в случае граничных условий частного вида
2.4.5 Частный случай решения краевой задачи на одном ребре
2.4.6 Разностная задача для амплитуды волн скорости
2.5 Решение неоднородных ЛГД уравнений на одном ребре графа.
2.5.1 Частное решение неоднородных ЛГД уравнений
2.5.2 Общее решение задачи Коши для неоднородных ЛГД уравнений
2.5.3 Постановка и решение вспомогательной задачи
2.5.4 Общее решение неоднородных ЛГД уравнений на ограниченном ребре
2.5.5 Условие резонанса в решении неоднородных ЛГД уравнений
на ограниченном ребре
2.6 Влияние трения о стенки на характер решения на одном ребре графа.
2.6.1 Описание метода исследования влияния трения о стенки
сосуда на характер течения жидкости в сосуде
2.6.2 Постановка задачи Коши для уравнений гемодинамики в безразмерных переменных
2.6.3 Приближенное аналитическое решение задачи Коши для линеаризованных уравнений гемодинамики с трением
2.6.4 Метод возмущения по параметру при решении уравнений гемодинамики с трением

2.6.5 Эволюция пульсовой волны
Г лава 3 Решение линеаризованных уравнений гемодинамики на графе
сосудов.
3.1 Аналитическое решение ЛГД уравнений на конечном промежутке времени для произвольного графа сосудов.
3.1.1 Математическая постановка задачи
3.1.2 Построение аналитического решения задачи
3.2 Краевая задача на графе из двух ребер.
3.2.1 Постановка краевой задачи
3.2.2 Метод продолжений в применении к краевой задаче на
графе из двух ребер
3.2.3 Рекуррентные соотношения для волн скорости на графе из
двух "равновременных" ребер
3.2.4 Постановка и решение разностной задачи для волн скорости
на двух "равновременных" ребрах
3.2.5 Решение краевой задачи на графе из двух ребер с кратными "характерными" временами
3.3 Краевая задача на графе «тройник».
3.3.1 Постановка краевой задачи
3.3.2 Метод продолжений в применении к краевой задаче на графе «тройник»
3.3.3 Аналитическое решение краевой задачи на графе из трех «равновременных» ребер
3.4 Система функциональных уравнений с запаздывающими аргументами
3.4.1 Рекуррентное соотношение для системы однородных функциональных уравнений
3.4.2 Рекуррентное соотношение для системы неоднородных функциональных уравнений
3.5 Решение краевой задачи на произвольном графе.

соответствует левый собственный вектор-строка Г

и правый
собственный вектор-столбец г* = 1,—- матрицы А. Аналогично,
I Рс)
собственному значению А соответствует левый собственный вектор-строка
Г = ——, 1 и правый вектор-столбец г' = 1,
V Рс ) I Рс)
Умножая векторное уравнение (1.5) слева на каждый из собственных векторов /+ и Г матрицы А, получаем, соответственно, следующую пару скалярных
1 др ди .+ [ , 1 др ди
уравнении ±
рс{р) ді <9? ( рс(р) дх дх
- — Дальнейшее

преобразования этих уравнений связаны с введением в рассмотрение функции
Р л £
ф(р)= I— , где а - произвольное фиксированное число. Учитывая, что
дю 1 др дер 1 др
- - = — и -!- =
дґ рс(р) ді дх рс(р) дх
—(±<р+и)+Х±—{±(р + и) = Р- . Введём две новые функции (переменные Римана)
ді дх р
Я±(и,р) = и±(р(р). В результате приводим уравнения (1.5) к двум уравнениям переноса
М1 + М1 = . (1.6)
сЧ дх р
Уравнения (1.6) являются уравнениями гемодинамики в переменных Римана.
Рассмотрим уравнения (1.6) на двух семействах линий в плоскости независимых переменных (х, і). Одно семейство линий это характеристики у ',
с1х*(д) „
задаваемые уравнением = А . Второе семейство линии это
йI <
характеристики , которые определяются уравнением — — = А~.

Рассматривая каждое из уравнения (1.6) в точках, соответственно, х+ и Х~